Всего: 77 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–77
Добавить в вариант
Пусть ω касается сторон BC и AE в точках K и M соответственно. Тогда 
и прямоугольные треугольники OMA, OKC и OME равны по катету и противолежащему углу. Значит, 
т. е. точки A, C и E лежат на окружности с центром O. Следовательно, 
поэтому 
обозначим 
тогда 
или аналогичное рассуждение, использующее, что l внутри треугольника ACE, с рассмотрением только этого случая
тройка B, O, 
и тройка C, O, 
На сторонах правильного девятиугольника ABCDEFGHI во внешнюю сторону построили треугольники XAB, YBC, ZCD и TDE. Известно, что углы X, Y, Z, T этих треугольников равны 20° каждый, a среди углов XAB, YBC, ZCD и TDE каждый следующий на 20° больше предыдущего. Докажите, что точки X, Y, Z, T лежат на одной окружности.
(Егор Бакаев)
по часовой стрелке, ΩX переходит в OY а треугольник XAB — в треугольник XBC, вписанный в Ω. По условию, 
откуда 
Таким образом, вектор 
переходит в 
при композиции двух поворотов вокруг O на 40° в разных направлениях. Следовательно, 
Аналогично 
Значит, точки X, Y, Z, T лежат на окружности, получающейся из Ω сдвигом на вектор 
Из вершины B на сторону AD опустили высоту BH. Найдите длину отрезка HD.
Можно заметить, что 
Это означает, что ABC — прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами, равными 13.
Кроме того, прямые MK и CD параллельны между собой и перпендикулярны основанию AD, так что HK = MT. Получаем
а прямые MC и M B параллельны сторонам AB и CD соответственно. Найти длину стороны BC четырехугольника.
и 
равны (обозначены на рисунке цифрой 2), аналогично равны углы 
и 
(обозначены на рисунке цифрой 3). Отсюда следует подобие треугольников BAM и CMD с коэффициентом подобия 4 и равенство углов 
и 
(обозначены на рисунке цифрой 1). Заметим, что 
и 
полученные при пересечении прямой CM параллельными прямыми MB и CD, равны как внутренние накрестлежащие. Сумма углов 
и 
равна 
как сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника. Значит, угол 
и треугольник MBC подобен треугольникам BAM и CMD.
и 
тогда CM = 4p и CD = 4q. Треугольники BAM и MBC подобны с коэффициентом подобия 
и стороны BA и BM треугольника BAM соответствуют сторонам MB и MC треугольника MBC, поэтому 
Значит, q = 2p и, треугольники BAM и MBC подобны с коэффициентом подобия 2. Следовательно, сторона BC в два раза длиннее стороны AM, то есть длина стороны BC равна 2.Диагонали вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, причем угол APB — тупой. Точки E и F — середины сторон AD и B соответственно. Из точки E провели перпендикуляр к прямой AC, а из точки F провели перпендикуляр к прямой BD, эти перпендикуляры пересеклись в точке Q. Найдите угол между прямыми PQ и CD.
и 
—
и 
подобны. Тогда, 
последнее поскольку точки E и F — середины отрезков AD и BC. Кроме того 
поэтому треугольники 
и 
подобны и, в частности, 
Углы ACB и ADB опираются на одну дугу и поэтому равны. Таким образом,
вписанный и 
Осталось посчитать углы: 
Тогда 
поскольку углы DAP и CBP опираются на одну дугу. Следовательно, треугольники CBP и DAP подобны по двум углам и, значит, 
а прямые LO и PQ пересекаются в точке 
Тогда треугольники 
и 
подобны с коэффициентом 
таким же коэффициентом подобия подобны и треугольники 
и 
Следовательно, 
и, значит, точки 
и O совпадают. Таким образом, прямая PQ проходит через точку O. Осталось посчитать углы:
точки A, P, B и S лежат на окружности с диаметром PS. Тогда (равенство 
следует из вписанности четырехугольника ABCD) 
Дан прямоугольный треугольник ABC. Окружность, касающаяся прямой BC в точке B, пересекает высоту CD, проведённую к гипотенузе, в точке F, а катет AC — в точке E. Известно, что 
Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника CEF.
то 
а 
по теореме об угле между касательной и хордой. Поэтому 
Следовательно, BE и BF соответствующие элементы в подобных прямоугольных треугольниках ABC и CBD. Значит, 
По теореме Фалеса 
Из полученных равенств следует, что 
поэтому F — середина CD, а так как 
то EF — средняя линия треугольника ACD. Отсюда 
и
Дан прямоугольный треугольник ABC. Окружность, касающаяся прямой BC в точке B, пересекает высоту CD, проведённую к гипотенузе, в точке F, а катет AC — в точке E. Известно, что 
Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника CEF.
Дан прямоугольный треугольник ABC. Окружность, касающаяся прямой AC в точке A, пересекает высоту CD, проведённую к гипотенузе, в точке E, а катет BC — в точке F. Известно, что 
Найдите отношение площади треугольника ACD к площади треугольника CEF.
а 
по теореме об угле между касательной и хордой. Поэтому 
Следовательно, AFи
соответствующие элементы в подобных прямоугольных треугольниках ABC и ACD. Значит, 
По теореме Фалеса 
Из полученных paвенств следует, 
поэтому E — середина CD, а так как 
то EF — средняя линия треугольника BCD. Отсюда 
и
Внутри правильного
Внутри правильного
а всех 11-ти):
):
Высоты треугольников типа А обозначим ha. Две оставшиеся стороны образуют треугольник типа В, его высоту обозначим hb. Рассмотрим расстояние d (см. рис.). Делая d сколь угодно малым, мы делаем площадь 
Тогда по теореме Пифагора и используя свойства равнобедренного треугольника, находим высоту треугольника типа А:
и площадь треугольника типа В: 
из построения (из формулы S(d)) очевидно, что S(2006) больше площади равностороннего треугольника со стороной 2006, то есть, 
Итак, мы доказали, что 
—
—
Тогда все точки Pi находятся в полуплоскости, содержащей A, ограниченной перпендикуляром к AB в точке B. Но тогда B не будет находиться внутри многоугольника 
Получили противоречие. Следовательно, найдётся такая вершина Pi, что Высоты AA1, BB1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. На касательную, проведенную из точки C к описанной окружности треугольника AB1C1, опущен перпендикуляр HQ (точка Q лежит внутри треугольника ABC). Докажите, что окружность, проходящая через точку B1 и касающаяся прямой AB в точке A, касается также и прямой A1Q.