Ответ: пря­мой угол.

Чтобы по­лу­чить наи­мень­шее число точек пе­ре­се­че­ния внут­ри квад­ра­та нужно до­бить­ся пе­ре­се­че­ния в одной точке сразу четырёх от­рез­ков. Для этого точки де­ле­ния долж­ны раз­би­вать сто­ро­ну в про­пор­ции зо­ло­то­го се­че­ни:

Ответ: 48 точек.

Ко­ли­че­ство еди­нич­ных ку­би­ков, по­лу­чен­ных из кубов, длины рёбер ко­то­рых яв­ля­ют­ся по­сле­до­ва­тель­ны­ми на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми, можно пред­ста­вить в виде фор­му­лы:

и равно это всё x³, где x  — кол-во еди­нич­ных ку­би­ков, сле­до­ва­тель­но,

Даль­ше, дей­ствуя ме­то­дом под­бо­ра, вы­би­ра­ем про­из­воль­но числа, про­ве­ря­ем их, под­став­ляя в ко­неч­ную фор­му­лу. В итоге, по­лу­ча­ет­ся, что длины рёбер кубов, рав­ня­ют­ся 3, 4 и 5.

Ответ: 3, 4, 5 и 6.

Для того, чтобы за­тра­чен­ное время ока­за­лось наи­боль­шим, Че­ло­век Рас­се­ян­ный дол­жен сна­ча­ла вы­хо­дить на каж­дом из про­ме­жу­точ­ных эта­жей, а лифт за время его ожи­да­ния на каж­дом этаже дол­жен прой­ти пол­ный цикл с оста­нов­ка­ми на каж­дом этаже при дви­же­нии как вверх, так и вниз. По­ло­ви­на та­ко­го цикла вклю­ча­ет 10 − 1  =  8 подъёмов (спус­ков) на один этаж и столь­ко же оста­но­вок на эта­жах, зна­чит, займёт 180 се­кунд. Пол­ный цикл  — 360 се­кунд или 6 минут.

Так как число про­ме­жу­точ­ных эта­жей (без учёта верх­не­го и ниж­не­го) 10 − 2  =  8, то с мо­мен­та пер­вой по­сад­ки в лифт до вы­хо­да пройдёт 8 с по­ло­ви­ной таких цик­лов. Ещё один пол­ный цикл нужно до­ба­вить на самое пер­вое ожи­да­ние лифта (в слу­чае, когда он толь­ко что ушёл с верх­не­го этажа, а Че­ло­век Рас­се­ян­ный не успел в него сесть). Всего в этом наи­худ­шем слу­чае пройдёт 19 по­лу­цик­лов, то есть Че­ло­век Рас­се­ян­ный за­тра­тит на спуск 19 · 180  =  3420 се­кунд, то есть 51 ми­ну­ту.

Ответ: 51 ми­ну­ту.

Для на­ча­ла най­дем пло­щадь коль­ца. Мы знаем, что пло­щадь n-уголь­ни­ка най­дет­ся, как:

Обо­зна­чим сто­ро­ну пер­во­го де­ся­ти­уголь­ни­ка за a, вто­ро­го  — b, тре­тье­го  — c. Пло­щадь коль­ца най­дем, как раз­ность пло­ща­дей пер­во­го и вто­ро­го де­ся­ти­уголь­ни­ка:

Пло­щадь тре­тье­го де­ся­ти­уголь­ни­ка можно найти:

По усло­вию пло­ща­ди коль­ца и тре­тье­го де­ся­ти­уголь­ни­ка равны:

Ответ: 6.

Если все 10 пря­мых па­рал­лель­ны одной оси, то нет точек пе­ре­се­че­ния.

Если 9 пря­мых па­рал­лель­ны одной оси, то есть 9 точек пе­ре­се­че­ния.

Если 8 пря­мых па­рал­лель­ны одной оси, то есть 18 точек пе­ре­се­че­ния.

Если 7 пря­мых па­рал­лель­ны одной оси, то есть 21 точек пе­ре­се­че­ния.

Если 6 пря­мых па­рал­лель­ны одной оси, то есть 24 точек пе­ре­се­че­ния.

Если 5 пря­мых па­рал­лель­ны одной оси, то есть 25 точек пе­ре­се­че­ния.

Далее ко­ли­че­ство точек убы­ва­ет ана­ло­гич­но 1-ым пяти слу­ча­ям, но в об­рат­ном по­ряд­ке. В слу­чае с 25 точ­ка­ми об­ра­зу­ют­ся 16 квад­ра­тов 1 × 1, 9 квад­ра­тов 2 × 2, 4 квад­ра­тов 3 × 3 и один квад­рат 4 × 4. Сумма этих чисел равна 30.

Ответ: 30.

Для того, чтобы найти пло­щадь дан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка, разо­бьем его на тре­уголь­ни­ки AED, AEB, BEC, CED.

Пусть угол AED равен α тогда пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка по­лу­ча­ет­ся:

Зна­че­ние дан­но­го вы­ра­же­ния за­ви­сит от двух мно­жи­те­лей. От зна­че­ния си­ну­са и зна­че­ния про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей. Мак­си­маль­ное зна­че­ние си­ну­са  — 1 :

По­сколь­ку α дол­жен при­над­ле­жать про­ме­жут­ку то тогда наша фор­му­ла при­ни­ма­ет вид:

Про­из­ве­де­ние диа­го­на­лей можно оце­нить через не­ра­вен­ство Коши:

По­сколь­ку обе части не­ра­вен­ства по­ло­жи­тель­ные, то можно воз­ве­сти в квад­рат:

Сумма диа­го­на­лей равна 1, по­лу­ча­ет­ся, что:

Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей равно Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди равно

Ответ:

По тео­ре­ме Безу, если урав­не­ние имеет целые корни, то они на­хо­дят­ся среди де­ли­те­лей сво­бод­но­го члена. Зна­чит, чтобы найти все раз­лич­ные зна­че­ния ко­эф­фи­ци­ен­та p, надо раз­ло­жить сво­бод­ный член на мно­жи­те­ли:

По тео­ре­ме Виета сво­бод­ный член равен про­из­ве­де­нию кор­ней. От­сю­да кор­ня­ми дан­но­го урав­не­ния могут быть сле­ду­ю­щие числа:

1.  2 и 1005, p  =  −1007;

2.  1 и 1010, p  =  −2011;

3.  3 и 670, p  =  −673;

4.  5 и 402, p  =  −407;

5.  67 и 30, p  =  −97;

6.  10 и 201, p  =  −211;

7.  15 и 134, p  =  −149;

8.  335 и 6, p  =  −341;

Легко ви­деть, что всем вось­ми слу­ча­ям со­от­вет­ству­ют раз­ные зна­че­ния p.

Ответ: 8.

По­сколь­ку точки A, B, C лежат на осях ко­ор­ди­нат, то тре­уголь­ни­ки ABO, ACO и BCO пря­мо­уголь­ные.

Тре­уголь­ни­ки BCO и ACO рав­ные, т. к. у них сто­ро­на CO  — общая и их пло­ща­ди равны (пло­щадь  — по­ло­ви­на про­из­ве­де­ния сто­рон). Зна­чит, тре­уголь­ник ABO  — рав­но­бед­рен­ный. Тогда, зная пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков, най­дем их ги­по­те­ну­зы.

Тогда, зная пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков, най­дем их ги­по­те­ну­зы:

Те­перь мы знаем сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC. Зна­чит, мы можем найти его пло­щадь. Для этого най­дем вы­со­ту CD:

От­сю­да пло­щадь тре­уголь­ни­ка най­дет­ся, как:

Ответ: 30.

Для того, чтобы за­тра­чен­ное время ока­за­лось наи­боль­шим, Че­ло­век Рас­се­ян­ный дол­жен сна­ча­ла вы­хо­дить на каж­дом из про­ме­жу­точ­ных эта­жей, а лифт за время его ожи­да­ния на каж­дом этаже дол­жен прой­ти пол­ный цикл с оста­нов­ка­ми на каж­дом этаже при дви­же­нии как вверх, так и вниз. По­ло­ви­на та­ко­го цикла вклю­ча­ет 11 − 1  =  10 подъёмов (спус­ков) на один этаж и столь­ко же оста­но­вок на эта­жах, зна­чит, займёт 200 се­кунд. Пол­ный цикл  — 400 се­кунд.

Так как число про­ме­жу­точ­ных эта­жей (без учёта верх­не­го и ниж­не­го) 11 −2   =  9, то с мо­мен­та пер­вой по­сад­ки в лифт до вы­хо­да пройдёт 9 с по­ло­ви­ной таких цик­лов. Ещё один пол­ный цикл нужно до­ба­вить на самое пер­вое ожи­да­ние лифта (в слу­чае, когда он толь­ко что ушёл с верх­не­го этажа, а Че­ло­век Рас­се­ян­ный не успел в него сесть). Всего в этом наи­худ­шем слу­чае пройдёт 21 по­лу­цикл, то есть Че­ло­век Рас­се­ян­ный за­тра­тит на спуск 21 · 200  =  4200 се­кунд, то есть 70 минут.

Ответ: 70 минут.

Внут­ри пра­виль­но­го 11-уголь­ни­ка со сто­ро­ной длины 25 рас­по­ло­жен пра­виль­ный 11-уголь­ник со сто­ро­ной длины 24. Пётр нашёл пло­щадь мно­го­уголь­но­го «коль­ца» между ними и по­стро­ил пра­виль­ный 11-уголь­ник рав­ной пло­ща­ди. Най­ди­те длину сто­ро­ны этого пра­виль­но­го 11-уголь­ни­ка.

Сна­ча­ла найдём пло­щадь 11-уголь­ник со сто­ро­ной 25 (там будет 11 рав­ных тре­уголь­ни­ков, пло­щадь од­но­го из ко­то­рых а всех 11-ти):

Те­перь можно найти пло­щадь коль­ца через раз­ность (под­ста­вив сна­ча­ла 25, потом 24), в ре­зуль­та­те по­лу­ча­ет­ся зна­че­ние:

Те­перь про­сто под­ста­вим в фор­му­лу пло­ща­ди:

и в конце кон­цов мы по­лу­ча­ем что a  =  7.

Ответ: 7.

Пусть n  — число плос­ко­стей па­рал­лель­ных оси ox и пер­пен­ди­ку­ляр­ных оси oy, m  — число плос­ко­стей па­рал­лель­ных оси oy и пер­пен­ди­ку­ляр­ных оси ox, k  — число плос­ко­стей па­рал­лель­ных оси ox и оси oy. Тогда ко­ли­че­ство пе­ре­бо­ров в одной из этих плос­ко­стей равно а тогда общее ко­ли­че­ство пе­ре­бо­ров это про­из­ве­де­ние всех трёх од­но­тип­ных вы­ра­же­ний:

но ещё сле­ду­ет учи­ты­вать, что Мак­си­маль­ное зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при И, в конце кон­цов, мы по­лу­ча­ем ко­ли­че­ство пе­ре­бо­ров в 91125.

Ответ: 91125.

Так как KN сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ACB, тогда она па­рал­лель­на ос­но­ва­нию AB, а также эта сред­няя делит ме­ди­а­ну CM по­по­лам.

Со­от­вет­ствен­но и все осталь­ные от­рез­ки равны по­ло­ви­нам ме­ди­ан. Тогда ме­ди­а­ны равны: AN  =  26, BK  =  10, CM  =  24.

По­стро­им новый чертёж:

В нём MO па­рал­лель­на и равна AN и CO. Пря­мая СO па­рал­лель­на и равна KB. Нам нужно найти угол между мень­ши­ми ме­ди­а­на­ми, а это BSC, а мы найдём угол OCM из тре­уголь­ни­ка MOC, а сумма этих двух углов равна 180. Угол OCM найдём по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

но у нас по­лу­ча­ет­ся, что это пи­фа­го­ро­ва трой­ка чисел, и тогда этот угол 90 гра­ду­сов, со­от­вет­ствен­но и угол BSC также 90 гра­ду­сов.

Ответ: 90°.

Имеем:

Про­ве­дем вы­со­ту BD (h) к сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC, пусть тогда По­лу­чим:

Ответ: 70.