Ре­ше­ние.

Внут­ри пра­виль­но­го 11-уголь­ни­ка со сто­ро­ной длины 25 рас­по­ло­жен пра­виль­ный 11-уголь­ник со сто­ро­ной длины 24. Пётр нашёл пло­щадь мно­го­уголь­но­го «коль­ца» между ними и по­стро­ил пра­виль­ный 11-уголь­ник рав­ной пло­ща­ди. Най­ди­те длину сто­ро­ны этого пра­виль­но­го 11-уголь­ни­ка.

Сна­ча­ла найдём пло­щадь 11-уголь­ник со сто­ро­ной 25 (там будет 11 рав­ных тре­уголь­ни­ков, пло­щадь од­но­го из ко­то­рых а всех 11-ти):

где n  =  11. Также можно вы­ра­зить r (к при­ме­ру, тан­генс по­ло­вин­но­го угла BAC, а этот угол равен ):

Если со­брать в одну фор­му­лу, то по­лу­чит­ся:

Те­перь можно найти пло­щадь коль­ца через раз­ность (под­ста­вив сна­ча­ла 25, потом 24), в ре­зуль­та­те по­лу­ча­ет­ся зна­че­ние:

Те­перь про­сто под­ста­вим в фор­му­лу пло­ща­ди:

и в конце кон­цов мы по­лу­ча­ем что a  =  7.

 

Ответ: 7.