Всего: 17 1–17
Добавить в вариант
—
—
Тогда все точки Pi находятся в полуплоскости, содержащей A, ограниченной перпендикуляром к AB в точке B. Но тогда B не будет находиться внутри многоугольника 
Получили противоречие. Следовательно, найдётся такая вершина Pi, что 
и 
то 
выражение принимает значение 
Для 
выражение будет равно как раз 2001. 
Ожерелье пани Моники состоит из разноцветных бусинок. Моника любит выкладывать свое ожерелье на стол в форме правильного многоугольника (так, чтобы в каждой вершине находилась бусинка, а число бусинок на каждой стороне было одним и тем же). Это ей удается, когда на каждой стороне оказываются по 11, 13, 16 или 21 бусинке. Какое наименьшее число бусинок может содержать ожерелье?
: 
то 
Если 
то 
то 
Ожерелье пани Моники состоит из разноцветных бусинок. Моника любит выкладывать свое ожерелье на стол в форме правильного многоугольника (так, чтобы в каждой вершине находилась бусинка, а число бусинок на каждой стороне было одним и тем же). Это ей удается, когда число сторон равно 3, 4, 5 или 6, причем всегда в вершинах оказываются бусинки разных цветов. Найдите наименьшее возможное число различных по цвету бусинок.
для всех квадратных трехчленов 
По условию, каждый трехчлен не имеет решений, и, следовательно, их графики не пересекут ось Ox и будут лежать выше ее (по условию все трехчлены приведены). Общая функция 
есть сумма положительных функций. Следовательно, и общая функция будет положительной, и, значит, не будет пересекать OX. А значит, и суммарный трехчлен не будет иметь решений, ч. т. д.Репдиджитом в некоторой системе счисления называется число, запись которого в этой системе счисления состоит из одинаковых цифр (более одной). Например, десятичное число 2001 является репдиджитом в системе счисления с основанием 666. Проверьте это и найдите основания еще трех систем счисления, в которых 2001 является репдиджитом.
и репидиджит должен делиться на a. Число 2001 делится на 1, 3, 23, 29, 69, 87, 667, 2001, следовательно, a равно 
причем равенство возможно только в случае 
т. е. когда 
или 
Аналогично, 
Если сложить эти три неравенства, a, c другой стороны, сложить уравнения данной системы, то сравнение сумм показывает, что каждая из трех переменных может быть только нулем или единицей. Самый быстрый путь завершить решение — перебрать все 8 возможных вариантов и подстановкой убедиться, что подходят только два из них: 
и 
Угол между AB и 
Угол между (ABC) и 
тогда 
тогда 
следовательно, и 
ч. т. д.
и (или) 
(из разложения 2001 на множители или просто подбором). Даже и любого одного из них достаточно для того, чтобы найти остальные корни по теореме Безу (приведя уравнение к стандартной записи c многочленом в левой части 
и разделив его на соответствующий одночлен, после чего остается решить квадратное уравнение). Последний корень: 
делится на 
надо, чтобы было 
Решая систему уравнений 
Это и будет ответом. Ожерелье пани Моники состоит из разноцветных бусинок. Моника любит выкладывать свое ожерелье на стол в форме правильного многоугольника (так, чтобы в каждой вершине находилась бусинка, а число бусинок на каждой стороне было одним и тем же). Это ей удается, когда на каждой стороне оказываются по 7, 11, 13 или 16 бусинок, причем всегда в вершинах оказываются бусинки разных цветов. Найдите наименьшее возможное число различных по цвету бусинок.
Репдиджитом в некоторой системе счисления называется число, запись которого в этой системе счисления состоит из одинаковых цифр (более одной). Докажите, что для любого натурального n существует число, которое является репдиджитом не менее, чем в n различных системах счисления.
где p — простое. Системы счисления будут 
Дан многочлен 
где P(x) и Q(x) — не пропорциональные друг другу многочлены 
после раскрытия скобок и приведения подобных членов?
и раскрытия скобок получаем 48 слагаемых (старшие сократятся). Из них 16 слагаемых, в которых u или v входит в 
и 
то многочлены P(x) и Q(x) окажутся равными, что противоречит условию. Следовательно, хотя бы одна из скобок 
— ненулевая, что даст два ненулевых слагаемых в 
Но тогда должны быть нулями не менее 4 из 6 скобок 
Это означает, что из дробей 
можно четырьмя разными способами выбрать две равные дроби. Последнее же возможно лишь в случае равенства всех четырех этих дробей. Но хотя бы для одной из них мы уже установили, что ее числитель и знаменатель различны (иначе многочлены P(x) и Q(x) оказались бы равными, что противоречит условию), то есть сама дробь не равна 1. Следовательно, таковы же все четыре дроби, откуда следует, что все 4 первые скобки 