Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Дан прямоугольный треугольник ABC. Окружность, касающаяся прямой AC в точке A, пересекает высоту CD, проведённую к гипотенузе, в точке E, а катет BC — в точке F. Известно, что 
Найдите отношение площади треугольника ACD к площади треугольника CEF.
Решение.
Спрятать критерииСоединим точку A с точками E и F. Так как 
то 
а 
по теореме об угле между касательной и хордой. Поэтому 
Следовательно, AFи
соответствующие элементы в подобных прямоугольных треугольниках ABC и ACD. Значит, 
По теореме Фалеса 
Из полученных paвенств следует, 
поэтому E — середина CD, а так как 
то EF — средняя линия треугольника BCD. Отсюда 
и
Ответ: 1,6.
?
Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2023 год