Диагонали вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, причем угол APB — тупой. Точки E и F — середины сторон AD и B соответственно. Из точки E провели перпендикуляр к прямой AC, а из точки F провели перпендикуляр к прямой BD, эти перпендикуляры пересеклись в точке Q. Найдите угол между прямыми PQ и CD.
Пусть 
и 
—
и 
подобны. Тогда, 
последнее поскольку точки E и F — середины отрезков AD и BC. Кроме того 
поэтому треугольники 
и 
подобны и, в частности, 
Углы ACB и ADB опираются на одну дугу и поэтому равны. Таким образом,
Следовательно, четырехугольник 
вписанный и
(последнее равенство углов следует из вписанности четырехугольника 
Осталось посчитать углы:
Ответ: 90°.
Приведём другое решение.
Пусть и — точки пересечения EQ с AP и FQ с BP соответственно, точки K и L — середины отрезков AP и BP, а T — точка пересечения прямых PQ и CD. Пусть O — центр описанной окружности треугольника APB, тогда OK и OL — серединные перпендикуляры к отрезкам AP и BP соответственно. Положим для краткости 
Тогда 
поскольку углы DAP и CBP опираются на одну дугу. Следовательно, треугольники CBP и DAP подобны по двум углам и, значит,
Таким образом,
Пусть прямые KO и PQ пересекаются в точке 
а прямые LO и PQ пересекаются в точке 
Тогда треугольники 
и 
подобны с коэффициентом 
таким же коэффициентом подобия подобны и треугольники 
и 
Следовательно, 
и, значит, точки 
и O совпадают. Таким образом, прямая PQ проходит через точку O. Осталось посчитать углы:
В предпоследнем равенстве использовалось то, что центральный угол AOP с одной стороны равен удвоенному вписанному углу ABD, а с другой стороны равен удвоенному углу POK.
Приведём ещё одно решение.
Проведем из точки P прямую ℓ, перпендикулярную стороне CD, пусть T — ее точка пересечения с CD. Через точки A и B проведем прямые, перпендикулярные к диагоналям AC и BD соответственно. Пусть S их точка пересечения. Поскольку 
точки A, P, B и S лежат на окружности с диаметром PS. Тогда (равенство 
следует из вписанности четырехугольника ABCD)
Следовательно, точка S лежит на прямой ℓ.
Пусть H — точка пересечения высот треугольника CPD. Ясно, что она также лежит на прямой ℓ. Тогда прямые AS, DH и EQ параллельны, и поскольку AE = ED, прямая EQ является средней линией трапеции ADHS. Следовательно, EQ пересекает прямую ℓ в середине отрезка SH. Аналогично прямая FQ также пересекает прямую ℓ в середине отрезка SH. Но тогда прямые EQ, FQ и ℓ пересекаются в середине отрезка SH и эта точка является точкой Q. Стало быть Q также лежит на прямой ℓ. В частности, прямые PQ и CD пересекаются под прямым углом.