Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Дан прямоугольный треугольник ABC. Окружность, касающаяся прямой BC в точке B, пересекает высоту CD, проведённую к гипотенузе, в точке F, а катет AC — в точке E. Известно, что 
Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника CEF.
Решение.
Спрятать критерииСоединим точку B с точками E и F. Так как 
то 
а 
по теореме об угле между касательной и хордой. Поэтому 
Следовательно, BE и BF — соответствующие элементы в подобных прямоугольных треугольниках ABC и CBD. Значит, 
По теореме Фалеса 
Из полученных равенств следует, что 
поэтому F — середина CD, а так как 
то EF — средняя линия треугольника ACD. Отсюда 
и
Ответ: 
?
Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2023 год