РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 9960 Добавить в вариант

Существует ли многоугольник, периметр и площадь которого равны 2008?

Спрятать решение

Решение.

Пусть ABGH и CDEF  — прямоугольники. Пусть Р( )  — периметр, а S( )  — площадь. Прямые DE и CF равны. Имеем:

$P левая круглая скобка A B C D E F G H правая круглая скобка =A B плюс B C плюс C D плюс D E плюс E F плюс F G плюс G H плюс H A =$
$=A B плюс B C плюс C D плюс C F плюс E F плюс F G плюс G H плюс B C плюс C F плюс F G=B G ;$

$B G=A H;$ $D C=E F;$

$G H=A B плюс H A=A B плюс B G плюс G H плюс плюс H A плюс C D плюс E F=$
$=2 A B плюс 2 A H плюс 2 D C=4 плюс 1000 плюс 1004=2008 .$

$S левая круглая скобка A B C D E F G H правая круглая скобка =S левая круглая скобка A B G H правая круглая скобка плюс S левая круглая скобка C D E F правая круглая скобка =$
$=A B умножить на B G плюс C D умножить на D E=1000 плюс 1008=2008$

Многоугольник ABCDEFGH удовлетворяет условию.

Ответ: да, существует.

Олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие», 9 класс, Дистанционный тур, 2008 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Произвольные многоугольники

Спрятать решение · Помощь