Ре­ше­ние.

Т. к. Вася по­лу­чил сумму углов, рав­ную 2008 гра­ду­сам, сле­до­ва­тель­но, это не могла быть сумма толь­ко внут­рен­них углов не­вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка (это тре­бо­ва­ние от­сут­ству­ет в усло­вии за­да­чи), т. к. она не крат­на 180. Чтобы такая сумма по­лу­чи­лась при наи­мень­шем ко­ли­че­стве сто­рон, сле­ду­ет вы­брать лишь один угол, до­пол­ня­ю­щий внут­рен­ний, боль­ший 180°, до 360°. Это будет угол, тоже от­ве­ча­ю­щий усло­вию  — угол, ле­жа­щий между лу­ча­ми, на ко­то­рых лежат сто­ро­ны мно­го­уголь­ни­ка.

Итак, го­дит­ся 14-уголь­ник, сумма его внут­рен­них углов равна

но вме­сто од­но­го внут­рен­не­го угла, рав­но­го 360°, возь­мем угол, до­пол­ня­ю­щий его до 360° (он также рас­по­ло­жен между этими же лу­ча­ми, но не внут­рен­ний). Тогда сумма углов будет равна

Ответ: 14.