Сде­ла­ем два за­ме­ча­ния: 1) ни­ка­кие три пря­мые не про­хо­дят через одну точку; 2) пря­мые будут па­рал­лель­ны­ми тогда и толь­ко тогда, когда они со­дер­жать про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны пра­виль­но­го 2n-уголь­ни­ка.

Лемма: Пусть на плос­ко­сти про­ве­де­но не­сколь­ко пря­мых, при­чем ни­ка­кие три из них не пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке. Про­ве­дем еще одну пря­мую, ко­то­рая пе­ре­се­чет m уже про­ве­ден­ных пря­мых в m раз­лич­ных точ­ках, тогда ко­ли­че­ство ча­стей, на ко­то­рые де­лит­ся плос­кость этими пря­мы­ми уве­ли­чит­ся на

Обо­зна­чим на нашей пря­мой новые точки пе­ре­се­че­ния (ну­ме­ра­ция сов­па­да­ет с рас­по­ло­же­ни­ем точек на пря­мой). Рас­смот­ри все части плос­ко­сти, ко­то­рые об­ра­зо­вы­ва­лись до про­ве­де­ния новой пря­мой. Если часть со­дер­жит ин­тер­вал

то она по­де­лит­ся на две, иначе она оста­нет­ся не тро­ну­той. Сле­до­ва­тель­но, так как ин­тер­ва­лов у нас то и ча­стей ста­нет на боль­ше.

Вер­нем­ся к ре­ше­нию нашей за­да­чи. Будем про­во­дить пря­мые по­сле­до­ва­тель­но через сто­ро­ны пра­виль­но­го 2n-уголь­ни­ка. Пер­вая сто­ро­на об­ра­зу­ет 2 части; вто­рая будет пе­ре­се­кать толь­ко первую, по­это­му до­ба­вит еще 2 части; и т. д. каж­дая сле­ду­ю­щая будет до­бав­лять на одну боль­ше, чем преды­ду­щая. Будем про­дол­жать такую опе­ра­цию вплоть до n пря­мой. На­чи­ная с пря­мой у нас будут об­ра­зо­вы­вать­ся па­рал­лель­ные пря­мые: пря­мая пе­ре­се­чет n преды­ду­щих;   — пе­ре­се­чет преды­ду­щих; и т. д. каж­дая сле­ду­ю­щая на одну боль­ше, чем преды­ду­щая. В итоге по­лу­ча­ем такой ответ

Ответ: