РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6454 Добавить в вариант

Перед уроком геометрии учительница выписала на доске значения всех углов (в градусах) некоторого выпуклого многоугольника. Однако, дежурные одно из выписанных чисел стерли. Когда начался урок, оказалось, что сумма оставшихся чисел равна 1703. Какое число стерли дежурные?

Спрятать решение

Решение.

Пусть у многоугольника было n вершин. Так как n-угольник выпуклый, каждый его угол меньше 180°, а сумма всех углов равна $левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка умножить на 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Значит, сумма всех углов многоугольника за вычетом одного лежит в интервале от $180 левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка$ до $180 левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка .$ Тогда

$180 левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка меньше 1703 меньше 180 левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка \Rightarrow n= левая квадратная скобка дробь: числитель: 1703, знаменатель: 180 конец дроби правая квадратная скобка плюс 3=12 .$

Поэтому недостающий угол равен $180 умножить на 10 минус 1703=97$ градусов.

Ответ: 97.

Олимпиада СПБГУ, 11, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Произвольные многоугольники

Спрятать решение · Помощь