Let us prove that the sum is 0. Or this let us consider a regular convex Y-angled polygon and pick up any point inside it. (Please refer the left figure below). Then let us connect the point with all vertixes of the polygon (blue lines on the figure) and construct all heights in all resulting triangles (red lines on the figure).

Sum of heights is a constant

Change of the sum of heights

Since the triangles altogether form the polygon, their area is equal to the area of the polygon; since all basis of these triangles are equal, then the sum of the heights is a constant (i.e. doesn't depend on the choice of the point). But if to attempt a move of the point along any of these heights on distance Δ (please refer the right figure above) than the sum of heights will change by

It proves that the sum equals to 0 .

До­ка­жем, что ис­ко­мая сумма равна 0. Для этого рас­смот­рим пра­виль­ный Y-уголь­ник, вы­бе­рем любую точку внут­ри него, опу­стим из нее вы­со­ты на все сто­ро­ны и со­еди­ним эту точку со всеми вер­ши­на­ми этого Y-уголь­ни­ка (см. крас­ные и синие со­от­вет­ствен­но от­рез­ки на пер­вом ри­сун­ке ниже).

До­ка­за­тель­ство по­сто­ян­ства суммы высот

Из­ме­не­ние суммы высот при пе­ре­ме­ще­нии

По со­об­ра­же­ни­ям пло­ща­ди, сумма всех высот  — ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная, не за­ви­ся­щая от вы­бо­ра точки. Од­на­ко, при пе­ре­ме­ще­нии вдоль любой из высот на рас­сто­я­ние Δ (см. вто­рой ри­су­нок выше) сумма длин высот долж­на из­ме­нить­ся на

По­это­му ин­те­ре­су­ю­щая нас сумма равна 0.