сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В не­ко­то­ром вы­пук­лом 2021-уголь­ни­ке про­ве­ли все диа­го­на­ли. Ока­за­лось, что если какие-то две диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в не­ко­то­рой точке, от­лич­ной от вер­шин мно­го­уголь­ни­ка, то ни­ка­кая дру­гая диа­го­наль не про­хо­дит через эту точку. Найти число точек пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей, от­лич­ных от вер­шин мно­го­уголь­ни­ка.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вы­бе­рем любые че­ты­ре вер­ши­ны вы­пук­ло­го 2021-уголь­ни­ка, тогда они опре­де­ля­ют одну точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей, от­лич­ную от вер­шин мно­го­уголь­ни­ка. Зна­чит, число точек пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей, от­лич­ных от вер­шин мно­го­уголь­ни­ка равно числу спо­со­бов вы­брать че­ты­ре раз­лич­ных вер­ши­ны из 2021 вер­ши­ны мно­го­уголь­ни­ка, т. е. равно

C_2021 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2021 умно­жить на 2020 умно­жить на 2019 умно­жить на 2018, зна­ме­на­тель: 1 умно­жить на 2 умно­жить на 3 умно­жить на 4 конец дроби =693 048 969 485.

Ответ: 693 048 969 485.