В вершинах правильного n-угольника расставлены числа от 1 до n в некотором порядке. При этом расстояния между вершинами, в которых стоят последовательные числа, одинаковые. Такое же расстояние между вершинами, в которых стоят числа 1 и n. Оказалось, что вершина с числом 20 соседствует с вершинами, соответствующими числам 158 и 45. Найдите n.
Впишем многоугольник в окружность. Вершины многоугольника разобьют эту окружность на n дуг. Посадим в вершину с числом 1 муравья и заставим его бегать по окружности по часовой стрелке с постоянной скоростью (скажем, одна дуга в минуту). Из условия расстановки чисел по вершинам следует, что последовательные числа муравью будут встречаться через равные промежутки времени (t минут), так как равенство расстояний между парами вершин многоугольника равносильно равенству дуг. В вершине с числом n муравей окажется через минут. Если он потратит еще t минут на движение, он пройдет расстояние nt дуг, то есть совершит t полных оборотов и вернется в вершину с числом 1. Таким образом, путь из вершины n в вершину 1 также занимает t минут.
Заметим, что за время муравей переползает из вершины с числом 20 в вершину с числом 45. Получается, что через 25t минут муравей оказывается в соседней вершине. В частности, за это время он переползет из вершины с числом 158 в вершину с числом 20. За эти 25t минут муравей 25 раз переползет в вершину с следующим числом, т. е. в последовательности
Ответ: 163.