Всего: 939 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Дан куб ABCDA'B'C'D'. На отрезках AB', AC, AD', B'C, CD', B'D' расставляют стрелки и затем находят сумму 
всех 6 полученных векторов. Сколько различных векторов можно получить, по-разному расставляя стрелки на указанных отрезках?
и 
совпали с единичными векторами 
и 
осей Ox, Oy и Oz соответственно. Тогда получим, что 
и 
тогда
где p, q и r — чётные числа, для которых 
имеется таким образом 
способа расстановки стрелок. Равенства 
достигаются 
способами, a для равенства 
есть 
расстановок. Следовательно, можно получить 
различных векторов 
и 
Найдите длину стороны AB.
Треугольники A'BD и CBD равнобедренные, поэтому 
совпадающего (в силу условий 
Поэтому 
и 
откуда 
Каким наибольшим может быть количество последовательных десятизначных натуральных чисел, среди которых нет ни одного палиндрома? Палиндром — это число, одинаково читающееся в обоих направлениях, например, 33, 2552, 70 507.
—
а k — наибольгий индекс, лля которого 
тоже палиндром: первые k − 1 и последние k − 1 его цифр такие же, как у M, 
остальные, если они есть, — нули.
и 
нет ни одного палиндрома. В течение 100 дней каждый из шести друзей посетил бассейн ровно 75 раз, не более одного раза в день. Обозначим за n количество дней, в которые бассейн посетили не менее пяти из них. Определить максимальное и минимальное возможные значения числа n.
следовательно, количество дней, в которые бассейн посетили не менее пяти из них не больше 
С другой стороны, если количество таких дней равно n, то общее число посещений друзьями бассейна, равное 450, не превосходит 
откуда 
и 
° —
и 
—Вася поменял местами цифры трехзначного числа A так, что ни одна цифра нового трёхзначного числа B не совпала с цифрой числа A, стоящей в том же разряде. Оказалось, что разность A − B — двузначное число, являющееся полным квадратом. Чему может быть равно число A? Найдите все возможные варианты.
где a, b, c — цифры его сотен, десятков и единиц соответственно. Из принципа Дирихле и условия следует, что все они различны, так как нельзя рассадить минимум 4 кроликов (две пары одинаковых цифр в А и В) по 3 клеткам (разрядам), чтобы каждому досталось отдельное жильё. По условию либо 
либо 
Кроме того, разность А и В двузначна, следовательно, первая цифра А больше первой цифры В на 1 (как мы заметили, первые цифры этих чисел не могут быть равны). Рассмотрим оба случая. 
Тогда 
—
и 
то 
откуда b = 1, 2 и A = 218, 329 — два решения. Во втором случае 
и a = b + 1, значит, b + 2 = c, откуда 
—
и a = c + 1, тогда c = b + 6 и a = b + 7, откуда b = 0, 1, 2 и 
и a = c + 1, значит, c = b + 1, a = b + 2, откуда У Викентия есть две банки, красная и синяя, а также кучка из 20 камешков. Изначально обе банки пусты. Ход в игре Викентия состоит в том, чтобы переложить камешек из кучки в одну из банок или вернуть камешек из одной из банок в кучку. Количество камешков в банках определяет позицию игры. После каждого хода число камешков в красной банке всегда не меньше числа камешков в синей банке; и в ходе игры ни одна позиция не может повториться. Какое максимальное количество ходов может сделать Викентий?
где 
—
позиция.
чётных позиций и 121 − 66 = 55 нечётных. Каждый ход в игре меняет чётность позиции, поэтому всего игра не может содержать более, чем 55 чётных и 56 нечётных позиций (с учётом того, что начинается она с чётной позиции (0, 0)), всего 111 позиций, и состоять из не более, чем 111 − 1 = 110 ходов. 
—
—
то и c + a = 0, откуда и c = 0 — противоречие. Если ровно два из переменных равны 0, например a = 0, b = 0, 
откуда и c = 0 — снова противоречие. 
откуда и a = c — все три числа равны. 
Вычислите синусы этих углов.
неравенства 
и 
равносильны; этот факт, являющийся следствием монотонности функции, мы для краткости будем называть 
По 
и 
откуда 
Синус каждого из этих углов равен 
—
имеем 
Таблица 4 × 4, составленная из 16 чисел, такова, что каждое число в ней равно произведению всех своих соседей по горизонтали и по вертикали. Каким наибольшим может быть количество отрицательных чисел в таблице?
Три числа 
образуют трёхчленную арифметическую прогрессию тогда и только тогда 
Посмотрим, какое максимальное количество раз каждый из элементов A может быть средним членом al такой прогрессии. Несложно видеть, что к элементу al, l = 2, 3, 4, 5 можно подобрать первый элемент ak не более, чем l − 1 различными способами — это может быть только 
Следовательно, искомых прогрессий со средним членом 
может быть не более 
Аналогично, к элементу al,
можно подобрать третий элемент am не более, чем 10 – l различными способами — это может быть только 
Следовательно, искомых прогрессий со средним членом al, 
может быть не более 
Любая искомая трёхчленная прогрессия должна быть одного из этих двух типов, следовательно, общее число таких способов не может превосходить 
пересекает ось Ox в двух точках. Через них проведена окружность, касающаяся оси Oy. Найдите ординату точки касания.
то 
и 
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства 
и 
то есть 
По теореме Виета 
следовательно, 
существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи. 
По дороге из A в B ездят только легковые машины, грузовики и автобусы. Легковые машины выезжают из A в B каждые 2 минуты со скоростью 120 км/ч, грузовики каждые 3 минуты со скоростью 80 км/ч, а автобусы каждые 6 минут со скоростью 60 км/ч. Скорости всех машин постоянны, а расстояние между A и B достаточно большое. Пассажир едет из A в B на автобусе. Какую долю среди обгоняющих его транспортных средств составляют грузовики?
позади легкового автомобиля, выехавшего перед ним, и сближается со скоростью 
с впереди идущим автобусом. 
часа,
обгонов автобусов легковыми автомобилями. 
обгонов. Следовательно, искомая доля равна 
Дана окружность Ω с центром O и окружность 
которая проходит через O и пересекает Ω в точках А и В. На окружности 
выберем точку С, отличную от О, лежащую внутри Ω. Прямая AC ещё раз пересекает окружность Ω в точке D, а прямая ВС ещё раз пересекает окружность Ω в точке Е. Докажите, что треугольники ABC и CDE равны.
и 
достаточно равенства отрезков CB = CD и CA = CE. Докажем первое из них. Обозначим величину угла АОВ за x. Тогда и величина ВСА, вписанного в окружность 
В таком случае в треугольнике ВСD углы ВСD и СDB равны 180° – x и 
соответственно, следовательно, третий угол CBD тоже равен 
поэтому треугольник BCD является равнобедренным и CB = CD, что и требовалось доказать. Равенство CA = CE доказывается аналогично.Дан куб, на ребрах которого расставляют стрелки и затем находят сумму всех 12 полученных векторов. Сколько различных векторов можно получить, по-разному расставляя стрелки на ребрах?
и 
коллинеарных оси Ox, 4 вектора 
и 
коллинеарных оси Оy, и 4 вектора 
и 
коллинеарных оси Oz. 
где 
может принимать ровно 5 различных значений: 
где 
— единичными вектор оси Ox. 
и 
представляет собой разложение вектора по координатным осям, то он может принимать ровно 
различных значений. 
множества тех из рассматриваемых чисел, которые при делении на 7 дают остатки 0, 1, 2, ..., 6 соответственно. Докажем, что каждое из этих множеств содержит одинаково количество чисел, равное 
Заметим, что число 1 111 111 при делении на 7 даёт остаток 1. С каждым из рассматриваемых чисел a проделаем следующее: прибавим к каждой цифре a единицу, если при этом в некотором разряде получается цифра 8, заменим её на цифру на 1, дающую тот же остаток от деления на 7. Остаток от деления полученного числа на 7 равен остатку от деления на 7 числа 
то есть на 1 больше, чем остаток от деления на 7 числа a. Следовательно, данное отображение однозначно переводит каждое число множества An в некоторое число множества 
для всех 
причём разные числа из An переходят в разные числа из 
Значит, количество чисел в A1> не меньше, чем в A0, количество чисел в A2 не меньше, чем в A1 и так далее, ... количество чисел в A0 не меньше, чем в A6, поэтому все множества An, 
содержат одинаковое количество чисел, равное 
друг в друга: 3 балла. 
и 
Найдите длину диагонали BD.
и 
а затем вычтя из полученной суммы уравнение 
получим 
Последнее равенство можно представить в виде 
с f(t). Поэтому 
откуда