По­зи­ция в игре Ви­кен­тия од­но­знач­но задаётся парой не­от­ри­ца­тель­ных целых чисел (x, y), и где   — числа ка­меш­ков в синей и крас­ной бан­ках со­от­вет­ствен­но. Всего в игре Ви­кен­тия воз­мож­на по­зи­ция. Назовём по­зи­цию чётной, если сумма её чисел ка­меш­ков в бан­ках чётна, и нечётной  — в про­ти­во­по­лож­ном слу­чае. Всего в игре чётных по­зи­ций и 121 − 66  =  55 нечётных. Каж­дый ход в игре ме­ня­ет чётность по­зи­ции, по­это­му всего игра не может со­дер­жать более, чем 55 чётных и 56 нечётных по­зи­ций (с учётом того, что на­чи­на­ет­ся она с чётной по­зи­ции (0, 0)), всего 111 по­зи­ций, и со­сто­ять из не более, чем 111 − 1  =  110 ходов.

При­ведём при­мер игры, когда Ви­кен­тий смо­жет сде­лать 110 ходов. При этом он де­ла­ет един­ствен­но воз­мож­ный пер­вый ход с (0, 0) на (1, 0), затем все по­зи­ции (x, y) с нечётным x  =  1, 3, 5, ..., 9 про­хо­дит по­сле­до­ва­тель­но от (x, 0) до (x, x), после чего пе­ре­хо­дит к (x + 1, x), а все по­зи­ции с чётным x=2, 4, ..., 10 про­хо­дит по­сле­до­ва­тель­но от (x, x − 1) до (x, 0), после чего пе­ре­хо­дит к (x + 1, 0). После всего ука­зан­но­го он ока­зы­ва­ет­ся в по­зи­ции (11, 0), после чего его стра­те­гия слег­ка ме­ня­ет­ся. Все по­зи­ции (x, y) с нечётным x  =  11, 13, 15, 17 про­хо­дит по­сле­до­ва­тель­но от (x, 0) до (x, 19 – x), после чего пе­ре­хо­дит к (x + 1, 19–x), а все по­зи­ции с чётным x  =  12, 14, ..., 18 про­хо­дит по­сле­до­ва­тель­но от (x, 20 – x) до (x, 0), после чего пе­ре­хо­дит к (x + 1, 0). В итоге он ока­зы­ва­ет­ся в по­зи­ции (19, 0) и со­вер­ша­ет по­след­ний ход в (20, 0). Не прой­ден­ны­ми оста­лись по­зи­ции   — ровно 10 штук, то есть прой­ден­ны­ми в точ­но­сти 121 − 10  =  111 по­зи­ций. Со­вер­ше­но как раз 110 ходов.

Ответ: 110 ходов.