РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 9032 Добавить в вариант

Дан куб, на ребрах которого расставляют стрелки и затем находят сумму $\vecS$ всех 12 полученных векторов. Сколько различных векторов $\vecS$ можно получить, по-разному расставляя стрелки на ребрах?

Спрятать решение

Решение.

Введем систему координат Oxyz так, чтобы ребра куба были параллельно ее осям, а начало координат совпадало с одной из вершин куба. 12 полученных вектора разбиваются на три группы: 4 вектора $\overrightarrowx_1,$ $\overrightarrowx_2,$ $\overrightarrowx_3$ и $\overrightarrowx_4,$ коллинеарных оси Ox, 4 вектора $\overrightarrowy_1,$ $\overrightarrowy_2,$ $\overrightarrowy_3$ и $\overrightarrowy_4,$ коллинеарных оси Оy, и 4 вектора $\overrightarrowz_1,$ $\overrightarrowz_2,$ $\overrightarrowz_3$ и $\overrightarrowz_4,$ коллинеарных оси Oz.

Тогда $\vecS=\vecx плюс \vecy плюс \vecz,$ где

$\vecx=\overrightarrowx_1 плюс \overrightarrowx_2 плюс \overrightarrowx_3 плюс \overrightarrowx_4,$

$\vecy=\overrightarrowy_1 плюс \overrightarrowy_2 плюс \overrightarrowy_3 плюс \overrightarrowy_4,$

$\vecz=\overrightarrowz_1 плюс \overrightarrowz_2 плюс \overrightarrowz_3 плюс \overrightarrowz_4.$

Вектор $\vecx$ может принимать ровно 5 различных значений: $минус 4 \veci,$ $минус 2 \veci,$ $\overrightarrow0,$ $2 \veci,$ $4 \veci,$ где $\veci$   — единичными вектор оси Ox.

Такое же утверждение справедливо для векторов $\vecy$ и $\vecz.$

Поскольку равенство $\vecS=\vecx плюс \vecy плюс \vecz$ представляет собой разложение вектора по координатным осям, то он может принимать ровно $5 в кубе =125$ различных значений.

Ответ: 125.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Содержание критерия	Оценка	Баллы
Задача решена полностью	+	12
Ход решения верный, но в результате арифметических ошибок получен неверный ответ	+/−	8
При наличии верного плана решения допущены ошибки комбинаторного характера	−/+	4

Аналоги к заданию № 9016: 9032 Все

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2023 год

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь