Обо­зна­чим эле­мен­ты мно­же­ства A за Три числа об­ра­зу­ют трёхчлен­ную ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию тогда и толь­ко тогда По­смот­рим, какое мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство раз каж­дый из эле­мен­тов A может быть сред­ним чле­ном a_l такой про­грес­сии. Не­слож­но ви­деть, что к эле­мен­ту a_l, l  =  2, 3, 4, 5 можно по­до­брать пер­вый эле­мент a_k не более, чем l − 1 раз­лич­ны­ми спо­со­ба­ми  — это может быть толь­ко Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мых про­грес­сий со сред­ним чле­ном может быть не более Ана­ло­гич­но, к эле­мен­ту a_l, можно по­до­брать тре­тий эле­мент a_m не более, чем 10 – l раз­лич­ны­ми спо­со­ба­ми  — это может быть толь­ко Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мых про­грес­сий со сред­ним чле­ном a_l, может быть не более Любая ис­ко­мая трёхчлен­ная про­грес­сия долж­на быть од­но­го из этих двух типов, сле­до­ва­тель­но, общее число таких спо­со­бов не может пре­вос­хо­дить

В ка­че­стве при­ме­ра мно­же­ства A из 10 эле­мен­тов, когда зна­че­ние 20 до­сти­га­ет­ся, можно взять мно­же­ство всех на­ту­раль­ных чисел от 1 до 10 вклю­чи­тель­но.

Ответ: 20.