РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 9035 Добавить в вариант

Числа x, y, z различны и удовлетворяют системе уравнений

$x в квадрате плюс y в кубе плюс z в кубе =x в кубе плюс y в квадрате плюс z в кубе =x в кубе плюс y в кубе плюс z в квадрате =0,8.$

Какие значения может принимать их произведение?

Спрятать решение

Решение.

Сложив уравнения $x в квадрате плюс y в кубе плюс z в кубе =0,8$ и $x в кубе плюс y в квадрате плюс z в кубе =0,8,$ а затем вычтя из полученной суммы уравнение $x в кубе плюс y в кубе плюс z в квадрате =0,8,$ получим $2 z в кубе плюс x в квадрате плюс y в квадрате минус z в квадрате =0,8.$ Последнее равенство можно представить в виде

$z в кубе минус z в квадрате плюс дробь: числитель: x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате минус 0,8, знаменатель: 2 конец дроби =0 .$

Аналогично,

$x в кубе минус x в квадрате плюс дробь: числитель: x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате минус 0,8, знаменатель: 2 конец дроби =0 ,$ $y в кубе минус y в квадрате плюс дробь: числитель: x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате минус 0,8, знаменатель: 2 конец дроби =0 .$

Пусть

$f левая круглая скобка t правая круглая скобка = левая круглая скобка t минус x правая круглая скобка левая круглая скобка t минус y правая круглая скобка левая круглая скобка t минус z правая круглая скобка =t в кубе плюс альфа t в квадрате плюс бета t плюс гамма ,$

где

$альфа = минус левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка ,$ $бета =x y плюс y z плюс z x,$ $гамма = минус x y z.$

Тогда x, y, z  — корни многочлена

$g левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в кубе минус t в квадрате плюс дробь: числитель: альфа в квадрате минус 2 бета минус 0,8, знаменатель: 2 конец дроби ,$

совпадающего (в силу условий $x не равно q y,$ $y не равно q z,$ $z не равно q x правая круглая скобка$ с f(t). Поэтому $альфа = минус 1,$ $бета =0,$ $гамма =0,1,$ откуда $x y z= минус 0,1.$

Ответ: −0,1.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Содержание критерия	Оценка	Баллы
Задача решена полностью	+	14
Верный план решения не реализован из-за описок и/или арифметических ошибок	+/2	7
Имеется продвижение в решении задачи, но решение не завершено	−/+	от 1

Аналоги к заданию № 9018: 9035 Все

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2023 год

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь