Дана окружность Ω с центром O и окружность 
которая проходит через O и пересекает Ω в точках А и В. На окружности 
выберем точку С, отличную от О, лежащую внутри Ω. Прямая AC ещё раз пересекает окружность Ω в точке D, а прямая ВС ещё раз пересекает окружность Ω в точке Е. Докажите, что треугольники ABC и CDE равны.
Углы ACB и DCE равны как вертикальные, поэтому для равенства треугольников 
и 
достаточно равенства отрезков CB = CD и CA = CE. Докажем первое из них. Обозначим величину угла АОВ за x. Тогда и величина ВСА, вписанного в окружность и опирающегося там на хорду АВ тоже равна x, а величина смежного с ним угла BCD равна 180° – x. С другой стороны, вписанный в окружность Ω угол ADB равен половине её центрального угла АОВ, то есть 
В таком случае в треугольнике ВСD углы ВСD и СDB равны 180° – x и 
соответственно, следовательно, третий угол CBD тоже равен 
поэтому треугольник BCD является равнобедренным и CB = CD, что и требовалось доказать. Равенство CA = CE доказывается аналогично.