РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 9019 Добавить в вариант

Каким наибольшим может быть количество последовательных десятизначных натуральных чисел, среди которых нет ни одного палиндрома? Палиндром  — это число, одинаково читающееся в обоих направлениях, например, 33, 2552, 70 507.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $M=\overlinea_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1$   — палиндром (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅  — цифры, $a_1 не равно q 0 правая круглая скобка ,$ $M не равно q 10 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка минус 1,$ а k  — наибольгий индекс, лля которого $a_ k не равно q 9.$

Тогда $M плюс 10 в степени k плюс 10 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка$ тоже палиндром: первые k − 1 и последние k − 1 его цифр такие же, как у M, на k-м месте справа и слева стоит цифра $a_ k плюс 1,$ остальные, если они есть,  — нули.

А поскольку

$10 в степени k плюс 10 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 10 в степени 5 плюс 10 в степени 4 =110 000,$

то между M и $M плюс 10 в степени k плюс 10 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка$ не более 109 999 натуральных чисел. С другой стороны, среди 109 999 натуральных чисел, заключенных между $10 в степени 9$ и $10 в степени 9 плюс 10 в степени 5 плюс 10 в степени 4 плюс 1$ нет ни одного палиндрома.

Ответ: 109 999.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Содержание критерия	Оценка	Баллы
Задача решена полностью	+	16
Есть нужный пример и попытка доказательства оценки	−/+	от 4

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2023 год

Классификатор: Разное. Логические задачи

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь