Всего: 146 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
следовательно, треугольник GFQ прямоугольный с прямым углом 
Но 
Значит, 
пря мой, но 
следовательно, 
тоже прямой, и смежный к нему 
тоже.
Она вторично пересекает прямую 
в точке 
и 
Но, поскольку 
также прямой, P и 
что и требовалось.
Докажите, что треугольник равносторонний.
и 
—
Аналогично можно получить, что она составляет 
и 
поэтому треугольник равносторонний.Дан треугольник ABC, в котором AB = 2, BC = 8, AC = 8. Из точки B провели биссектрису, которая пересекла описанную окружность этого треугольника в точке D. Найдите, чем равно DI, где I центр вписанной окружности треугольника ABC.
а по теореме синусов в треугольнике 
через теорему синусов в треугольнике 
получаем 
Докажите, что треугольник равнобедренный.
Аналогично можно получить, что она составляет 
поэтому треугольник равнобедренный.Четырехугольник ABCD вписан в окружность S. Окружности S1 и S2 равного радиуса касаются окружности S изнутри в точках A и C соответственно. Окружность S1 пересекается со сторонами AB и AD в точках K и N соответственно, окружность S2 пересекается со сторонами BC и CD в точках L и M соответственно. Докажите, что KLMN — параллелограмм.
где 
и 
Аналогично треугольник CML подобен треугольнику CBD с тем же коэффициентом.
— вершины правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность с центром O.
делится на многочлен 
Тогда 
а 
Утверждение задачи следует из того, что 
то доказанное тождество имеет следующую тригонометрическую форму 
и 
После небольших преобразований получаем, что искомое тождество равносильно тождеству, указанному в конце решения предыдущего пункта. 
Таким образом, 
В треугольнике ABC сторона AC равна 6, а угол ABC равен 120° Окружность 
радиуса 3 касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC. Найдите длины отрезков CL, MK, AB и площадь треугольника ANL.
следовательно, треугольник MOL — равносторонний, 
и 
Отсюда
откуда 
У треугольников 
и 
общая высота, проведённая из вершины L, поэтому их площади относятся как основания, т. е. как 
Следовательно, 
Отсюда следует, что 
В треугольнике ABC сторона BC равна 4, а угол ACB равен 
Окружность Г радиуса 
касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC. Найдите длины отрезков CL, MK, AB и площадь треугольника CMN.
Рассмотрим треугольник MKB. По теореме косинусов 
откуда 
Отсюда следует, что 
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть P — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник CBD. Луч BP пересекает сторону DA в точке M, а луч DQ пересекает сторону BC в точке N. Оказалось, что 
и 
а) Найдите отношение 
б) Пусть дополнительно известно, что данные в условии окружности касаются. Найдите длины сторон AB и CD.
Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения 
откуда 
б) 
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть P — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник CBD. Луч BP пересекает сторону DA в точке M, а луч DQ пересекает сторону BC в точке N. Оказалось, что 
и 
а) Найдите отношение 
б) Пусть дополнительно известно, что данные в условии окружности касаются. Найдите длины сторон AB и CD.
Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения 
откуда 
и 
б) 
Окружность 
радиуса касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC, 
Найдите угол ACB, длины отрезков MK, AB и площадь треугольника BKN.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому 
Рассмотрим треугольник MKB. По теореме косинусов 
Тогда площадь треугольника BKN равна 
Отсюда следует, что 
В треугольнике ABC проведена медиана BM; MD и ME — биссектрисы треугольников AMB и CMB соответственно. Отрезки BM и DE пересекаются в точке P, причём 
а) Найдите отрезок DE.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника ADEC можно описать окружность. Найдите её радиус.
то отсюда следует, что 
поэтому AC и DE — параллельны. Но тогда 
Аналогично получаем, что 
и тогда 
б) 
В треугольнике ABC проведена медиана BM; MD и ME — биссектрисы треугольников AMB и CMB соответственно. Отрезки BM и DE пересекаются в точке P, причём 
а) Найдите отрезок DE.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника ADEC можно описать окружность. Найдите её радиус.
Аналогично получаем, что 
и тогда 
б)
симметрична точке A относительно точки T. Треугольники 
и 
симметричны и, следовательно, равны. Тогда 
Проверим, что угол 
прямой. Действительно, заметим, что 
медиана равна половине гипотенузы.В неравнобедренном треугольнике ABC проведена биссектриса BB1. Точка I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку AC пересекает окружность, описанную около треугольника AIC, в точках D и E. Точка F на отрезке B1C выбрана так, что AB1 = CF. Докажите, что точки B, D, E и F лежат на одной окружности.
описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точку B. Тогда Ψ лежит на прямой 
Кроме того, по лемме о трезубце точка Ψ равноудалена от точек I, A и C, поэтому Ψ является центром описанной окружности треугольника AIC и Ψ лежит на отрезке ED. Пусть точка 
симметрична F относительно серединного перпендикуляра к DE. Очевидно, 
—
F лежат на одной окружности.
поскольку Ψ равноудалена от точек 
F, 
т. е. 
—
Из подобия треугольников 
и 
следует, что 
что равносильно равенству, 
B, D, E лежат на одной окружности.Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Окружность с центром в точке Ob проходит через точки A, C1 и середину отрезка BH. Окружность с центром в точке Oc проходит через точки A, B1 и середину отрезка CH. Докажите, что 
и, аналогично, 
Это неравенство следует из удивительного факта: расстояние от точки 
до прямой AC равно в точности 
симметрична вершине B относительно прямой AC. Проверим, что она лежит на окружности 
Для этого нужно доказать, что 
В самом деле, 
Таким образом, центр 
окружности w должен лежать на серединном перпендикуляре к ее хорде 
Значит, расстояние от 
и 
Оно в два раза меньше, чем расстояние от M до B, то есть равно 
что и требовалось.Точка Ia — центр вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны BC в точке X, а точка A′ диаметрально противоположна точке A на описанной окружности этого треугольника. На отрезках IAX, BA′, CA′ выбраны точки Y , Z, T соответственно таким образом, что IAY = BZ = CT = r, где r — радиус вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что точки X, Y , Z, T лежат на одной окружности.
Кроме этого, если I — центр вписанной окружности, то 
Из этих равенств сразу следует, что 
Поскольку прямая 
—
и поэтому 
и 
Это значит, что четырехугольник 
—
совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку 
Последний по лемме о трезубце проходит через середину W дуги 
описанной окружности треугольника. Аналогично, через W проходит и серединный перпендикуляр к отрезку 
Отметим на продолжении отрезка 
за точку X такую точку 
для которой 
Иными словами, 
—
Следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре 
совпадающем с серединным перпендикуляром к отрезку XY.Дана прямоугольный треугольник ABC. На продолжении гипотенузы BC выбрана точка D так, что прямая AD — касательная к описанной окружности ω треугольник ABC. Прямая AC пересекает описанную окружность треугольник ABD в точке E. Оказалось, что биссектриса угол ADE касается окружности ω. В каком отношении точка C делит отрезок AE?
K и L — точки пересечения биссектрисы угла ADE с AE и ω соответственно. Угол между касательной AD к окружности ω и хордой AC равен вписанному углу, который опирается на AC, откуда 
Кроме того, вписанные углы AED и α опираются на хорду AD и потому равны. Тогда 
и 
Тогда 
и по свойству биссектрисы 
На продолжении стороны BC треугольник ABC взята точка D так, что прямая AD — касательная к описанной окружности 
треугольника ABC. Прямая AC пересекает описанную окружность треугольника ABD в точке E, причем AC : CE = 1 : 2. Оказалось, что биссектриса угла ADE касается окружности 
Найдите углы треугольника ABC.
Кроме того, вписанные углы ABD и AED опираются на хорду AD и потому равны. Тогда 
то есть треугольник ADE — равнобедренный. Поэтому биссектриса DK треугольника ADE является также его медианой и высотой. В частности, отрезок DK перпендикулярен основанию AE, откуда отрезок OL параллелен основанию AE. Тогда 
и равнобедренный треугольник ADL оказывается равно сторонним. Поэтому 
Тогда 
а оставшийся угол в треугольнике равен 
r — радиус ω, K и L — точки пересечения биссектрисы угла ADE с AE и ω соответственно. Угол между касательной AD к окружности ω и хордой AC равен вписанному углу, который опирается на AC, откуда 
Заметим, что 
и 
Дан параллелограмм ABCD. Из вершины B опустили перпендикуляр BO на сторону AD. Окружность ω с центром в точке O проходит через точки A, B и пересекает продолжение стороны AD в точке K. Отрезок BK пересекает сторону CD в точке L,
и 
прямоугольные треугольники ABO и BOK являются равнобедренными и, значит, 
Поскольку 
четырехугольник BLDO вписанный. Поэтому 
Осталось заметить, что угол BOM центральный угол, опирающийся на дугу BM, а угол BKM — вписанный угол, опирающийся на дугу BM. Следовательно, 