Окружность пересекает стороны треугольника ABC: AB в точках C1 и C2, AC в точках B1 и B2, BC в точках Докажите, что треугольник равнобедренный.
Решение.
У отрезков на одной прямой и AB — общая середина, значит, и серединный перпендикуляр у них тоже общий. Рассуждая аналогично для других сторон треугольника, получаем, что центр окружности, о которой говорится в задаче, и центр описанной окружности треугольника совпадают.
Пусть это точка O, а точка M — середина стороны AB. Тогда
Тогда по теореме Пифагора:
Вычитая эти равенства, получаем, что разность квадратов радиусов двух окружностей составляет Аналогично можно получить, что она составляет поэтому треугольник равнобедренный.
Докажите, что треугольник равнобедренный.
и AB — общая середина, значит, и серединный перпендикуляр у них тоже общий. Рассуждая аналогично для других сторон треугольника, получаем, что центр окружности, о которой говорится в задаче, и центр описанной окружности треугольника совпадают.
Аналогично можно получить, что она составляет 
поэтому треугольник равнобедренный.