сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Окруж­ность пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC: AB в точ­ках C1 и C2, AC в точ­ках B1 и B2, BC в точ­ках AC_1 = BC_2 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби AB, CB_2 = AB_1 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби AC. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

У от­рез­ков на одной пря­мой C_1 C_2 и AB  — общая се­ре­ди­на, зна­чит, и се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр у них тоже общий. Рас­суж­дая ана­ло­гич­но для дру­гих сто­рон тре­уголь­ни­ка, по­лу­ча­ем, что центр окруж­но­сти, о ко­то­рой го­во­рит­ся в за­да­че, и центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка сов­па­да­ют.

Пусть это точка O, а точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Тогда

 M C_1=A M минус A C_1= дробь: чис­ли­тель: 3 A B, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби .

Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

O C_1 в квад­ра­те =M C 1 в квад­ра­те плюс O M в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 9 A B в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 100 конец дроби плюс O M в квад­ра­те ,

O A в квад­ра­те =A M в квад­ра­те плюс O M в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: A B в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс O M в квад­ра­те .

Вы­чи­тая эти ра­вен­ства, по­лу­ча­ем, что раз­ность квад­ра­тов ра­ди­у­сов двух окруж­но­стей со­став­ля­ет  дробь: чис­ли­тель: 16 A B в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 100 конец дроби . Ана­ло­гич­но можно по­лу­чить, что она со­став­ля­ет  дробь: чис­ли­тель: 16 A в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 100 конец дроби , по­это­му тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный.


Аналоги к заданию № 795: 804 Все