Окружность 
радиуса 
касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC, 
Найдите угол ACB, длины отрезков MK, AB и площадь треугольника CMN.
Решение. Обозначим центр окружности через O, основание высоты треугольника проведённой из вершины C, через H, а угол 
через 
Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то
и 
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому
Но тогда по сумме углов четырёхугольника OLCK находим, что 
Поскольку OL перпендикулярна AC и MK параллельна AC, то OL и MK — перпендикулярны. Треугольник MOK равнобедренный, высота в нём является биссектрисой, значит,
Отсюда
следовательно, треугольник MOL — равносторонний,
Тогда
Рассмотрим треугольник ALM. По теореме косинусов получаем, что
По теореме синусов
откуда 
Так как угол 
лежит напротив меньшей стороны треугольника, то он острый. Из треугольника ACH получаем, что
По теореме о касательной и секущей 
откуда 
отсюда
Тогда площадь треугольника CMN равна
Так как KM и AC — параллельны, треугольники BKM и BCA подобны, при этом коэффициент подобия равен 
Отсюда следует, что
Ответ: 
