Окружность радиуса касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC, Найдите угол ACB, длины отрезков MK, AB и площадь треугольника CMN.
Решение. Решение. Обозначим центр окружности через O, основание высоты треугольника проведённой из вершины C, через H, а угол через
Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то
и Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому
Но тогда по сумме углов четырёхугольника OLCK находим, что
Поскольку OL перпендикулярна AC и MK параллельна AC, то OL и MK — перпендикулярны. Треугольник MOK равнобедренный, высота в нём является биссектрисой, значит,
Отсюда
следовательно, треугольник MOL — равносторонний,
Тогда
Рассмотрим треугольник ALM. По теореме косинусов получаем, что
По теореме синусов
откуда Так как угол лежит напротив меньшей стороны треугольника, то он острый. Из треугольника ACH получаем, что
По теореме о касательной и секущей откуда отсюда
Тогда площадь треугольника CMN равна
Так как KM и AC — параллельны, треугольники BKM и BCA подобны, при этом коэффициент подобия равен Отсюда следует, что
Ответ:
Найден угол ACB — 1 балл.
Найден отрезок MK — 2 балла.
Найден отрезок AB — 2 балла.
Найдена площадь треугольника — 2 балла.
Внимание! Если при решении существенно используется, лежит ли центр данной окружности внутри треугольника ABC или вне него, то возможно получение неверных результатов в случае неверного расположения центра окружности.
Не исследовано, лежит ли центр окружности внутри треугольника ABC, и при этом расположение центра окружности используется в ходе решения — не более 5 баллов за задачу.