РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1215 Добавить в вариант

Окружность $\Gamma$   радиуса $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC, $CL=2,$ $BK=3.$ Найдите угол ACB, длины отрезков MK, AB и площадь треугольника BKN.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим центр окружности через O, а угол CBA через β.

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то

$тангенс \angle O C K= дробь: числитель: O K, знаменатель: C K конец дроби = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

и $\angle O C K=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому

$\angle A C B=2 \angle O C K=120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Но тогда по сумме углов четырёхугольника ОLCK находим, что $\angle L O K=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Поскольку OL перпендикулярна AC и MK параллельна AC, то OL и MK  — перпендикулярны. Треугольник MOK равнобедренный, высота в нём является биссектрисой, значит,

$\angle M O K=2 \angle L O K=120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Отсюда

$M K=2 умножить на M O умножить на синус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =6.$

В силу параллельности прямых MK и AC получаем, что $\angle M K B=120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Рассмотрим треугольник MKB. По теореме косинусов

$B M в квадрате =B K в квадрате плюс K M в квадрате минус 2 умножить на B K умножить на K M умножить на косинус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =63 \Rightarrow B M=3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

По теореме синусов

$дробь: числитель: M K, знаменатель: синус бета конец дроби = дробь: числитель: B M, знаменатель: синус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби ,$

откуда $синус бета = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби .$

По теореме о касательной и секущей $B K в квадрате =B M умножить на B N,$ откуда $B N= дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби .$ Тогда площадь треугольника BKN равна

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на B K умножить на B N умножить на синус бета = дробь: числитель: 9 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 14 конец дроби .$

Так как KM и AC  — параллельны, треугольники BKM и BCA подобны, при этом коэффициент подобия равен $B K: B C=3: 5.$ Отсюда следует, что

$дробь: числитель: B M, знаменатель: B A конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,$ $\quad дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: B A конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,$ $\quad A B=5 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Ответ: $\angle ACB= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , MK=6, AB=5 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , S_BKN= дробь: числитель: 9 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 14 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Найден угол ACB — 1 балл.

Найден отрезок MK — 2 балла.

Найден отрезок AB — 2 балла.

Найдена площадь треугольника — 2 балла.

Внимание! Если при решении существенно используется, лежит ли центр данной окружности внутри треугольника ABC или вне него, то возможно получение неверных результатов в случае неверного расположения центра окружности.

Не исследовано, лежит ли центр окружности внутри треугольника ABC, и при этом расположение центра окружности используется в ходе решения — не более 5 баллов за задачу.

Аналоги к заданию № 1208: 1215 Все

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности и многоугольник, Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный, Методы геометрии. Подобие, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих, Методы геометрии. Теорема синусов

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь