Всего: 146 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
Окружность радиуса 2, вписанная в треугольник АВС, касается стороны ВС в точке D. Окружность радиуса 4 касается продолжения сторон АВ и АС, а также стороны ВС в точке Е. Найдите площадь треугольника ADE, если величина угла АСВ
где отрезок AH перпендикулярный BC — высота в треугольниках ABC и AED, а также катет прямоугольного треугольника ACH с углом C равным 60 градусам, значит, 
радиуса 2 вписана в треугольник ABC. Вторая окружность с центром 
радиуса 4 касается продолжения сторон AB и AC, а также стороны BC. Найдите площадь треугольника O1BO2, если величина угла ACB равна 120°.
некоторая точка находящаяся на луче AB по разные стороны с точкой A относительно точки B, образуют развернутый угол, то треугольник O1BO2 — прямоугольный. Тогда
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD, сторона AC равна 2. Описанная около треугольника ABD окружность проходит через центр окружности, вписанной в треугольник ACD. Найдите площадь треугольника ACD, если 
где 
— радиусы окружностей, описанных около треугольников ABD и ACD соответственно.
и 
Имеем 
и 
По свойствам вписанных углов имеем 
и 
и 
и 
Треугольник ABC — равнобедренный, 
где 
Тогда 
Согласно теореме синусов, имеем 
то 
и 
По теореме синусов имеем 
Тогда площадь треугольника ACD равна
Первая окружность с центром в точке O вписана в треугольник ABC. Точки A и B лежат на второй окружности с центром в той же точке O. Прямая AC пересекает вторую окружность в точке D 
а прямая BC пересекает вторую окружность в точке E 
Известно, что угол ABC равен углу CAE. Найдите косинус угла BAC. Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к ним.
Тогда 
отсюда 
Точка O — центр вписанной в треугольник ABD окружности. 
Поскольку O — центр описанной в около треугольника ABC окружности, то треугольник AOB равнобедренный, и 
Треугольники AOD и BOD равнобедренные, 
то 
Треугольник ABD равнобедренный, 
и 
Пусть 
то по теореме косинусов для треугольника CBD имеем 
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С длина биссектрисы угла А равна 4, угол A = 60°. На серединном перпендикуляре к катету СВ в точке Q лежит центр окружности, которая касается прямых АС и АВ в точках К и М соответственно. Найдите площадь треугольника OQM, где точка O — центр вписанной в треугольник АВС окружности.
как радиусы. Тогда 
так как точка Q лежит на серединном перпендикуляре к катету СВ. Треугольники OKQ и OMQ равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, равны и их площади, получаем
тогда 
и 
прямая 
отсюда 
отрезок 
следовательно, 
и 
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Известно, что центры вписанной в треугольник ABD и описанной около треугольника ABC совпадают. Найдите CD, если 
Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к ним.
и 
Точка O — центр вписанной в треугольник ABD окружности. Значит, 
и 
и 
Треугольники AOC и BOC равнобедренные, 
и 
Поскольку 
то 
Треугольник ABC равнобедренный, значит, 
тогда 
следовательно, 
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Известно, что центры вписанной в треугольник ABD и описанной около треугольника ABC совпадают. Найдите площадь треугольника ABC, если CD = 4. Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к ним.
Точка O — центр вписанной в треугольник ABD окружности. Значит, 
и 
Поскольку O — центр описанной в около треугольника ABC окружности, то треугольник AOB равнобедренный, 
и 
Треугольники AOС и BOC равнобедренные, 
и 
Поскольку 
то 
Треугольник ABC равнобедренный, 
и 
и 
и 
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами. На стороне AD выбирается произвольная точка P, отличная от A и D. Описанные окружности треугольников ABP и CDP вторично пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки P.
а 
Сумма углов треугольника EDA равна 
и 
Тогда прямые KC1 и KA1 касаются окружности, описанной вокруг треугольника A1BC1, так как углы, отмеченные на рисунке слева одинаковым образом, равны. По условию точка M лежит на окружности, описанной вокруг треугольника A1BC1. Поэтому 
и при фиксированном b точка B лежит на окружности с центром K и радиусом 
В одном из положений получается точка 
—
Получаем картинку, изображённую на рисунке справа.
не включая (это наименьшее значение соответствует точкам B1 и B2 и прямоугольному треугольнику ABC с катетами b и 
до 60° (это наибольшее значение угла B, поскольку две окружности на рисунке справа касаются внутренним образом, и поэтому 
при 
В силу непрерывности угла ABC при движении точки B по дуге 
любое промежуточное значение из интервала 
соответствует некоторому положению 
точки B. Для построенного треугольника 
точка M будет лежать на окружности, описанной около треугольника A1BC1, так как будет выполнено соотношение 
можно получить и другим способом. Если 
и, кроме того, 
откуда и следует требуемое соотношение.
-й и i-й сторонами, измеренный в градусах, равен 
(для удобства записи считаем, что 
Это означает, что 
—
Тогда 
В прямоугольном треугольнике ABC на катете AC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке E. Через точку E проведена касательная к окружности, которая пересекает катет CB в точке D. Найдите длину DB, если AE = 6, а BE = 2.
поскольку опирается на диаметр. Во-вторых, DE и DC — касательные к окружности из условия, поэтому 
Следовательно, в прямоугольном треугольнике CEB на гипотенузе BC отмечена такая точка D, что 
хорошо известно, что тогда D середина этой гипотенузы, 
и 
Получаем, что 
по теореме Пифагора 
В прямоугольном треугольнике PQR на катете PR как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу PQ в точке T. Через точку T проведена касательная к окружности, которая пересекает катет RQ в точке S. Найдите длину SQ, если PT = 15, а QT = 5.
поскольку опирается на диаметр. Во-вторых, ST и SR — касательные к окружности из условия, поэтому 
Следовательно, в прямоугольном треугольнике RTQ на гипотенузе QR отмечена такая точка S, что 
хорошо известно, что тогда S — середина этой гипотенузы, 
и 
Получаем, что 
по теореме Пифагора 
Точки A1, B1, C1 — точки пересечения продолжений высот остроугольного треугольника ABC с описанной вокруг ABC окружностью. Окружность, вписанная в треугольник A1B1C1, касается одной из сторон ABC, а один из углов треугольника ABC равен 40°. Найдите два других угла треугольника ABC.
вписанная в A1B1C1, касается стороны BC. Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, K — точка касания 
и BC, L — точка касания ω и A1C1. Мы собираем доказать, что треугольник HBC1 — равносторонний. Тогда 
Кроме того, выше доказано, что 
то есть прямоугольные треугольники HC1L и HBK paвны по катету и острому углу. Поэтому 
Этот факт хорошо известен и может быть доказан различными способами. Приведём здесь лишь один из них. Заметим, что треугольники AHB и AC1B равны по стороне (общая сторона AB) и двум углам 
Точки A1, B1, C1 — точки пересечения продолжений высот остроугольного треугольника ABC с описанной вокруг ABC окружностью. Окружность, вписанная в треугольник A1B1C1, касается одной из сторон ABC, а один из углов треугольника ABC равен 50°. Найдите два других угла треугольника ABC.
и 
равны по стороне (общая сторон а AB) и двум углам 
В угол AOC вписаны окружности Ω1 и Ω2 (радиус Ω1 больше). Ω1 касается сторон угла в точках A и B, а Ω2 — в точках D и C соответственно. Точка M — середина отрезка BC.
Прямые MA и MD вторично пересекают Ω1 и Ω2 соответственно в точках X и Y. Прямые BX и CY пересекаются в точке Z. Докажите, что прямая MZ проходит через середину отрезка AD.
Для этого заметим, что эти произведения равны MB2 и MC2 соответственно (степень точки M относительно окружностей 
и 
Теперь докажем вписанность BXYC. Из первого утверждения получаем равенство углом DAX и XYM. Кроме того, равны углы MBX и MAB по свойству касательной и MYC и MCD из подобия соответствующих треугольников. Поскольку также равны углы BAD и DCO, то получаем, что сумма углов XBC и XYC равна 180°, что и требовалось.
что соответствует тому, что точка Z лежит на радикальной оси окружностей 
Очевидно, что на ней же лежат точки M и середина стороны AD.
которая проходит через середины AD и BC.
Дан треугольник ABC. Известны длины его сторон: AB = BC = 80, AC = 96. Окружность Q1 вписана в треугольник ABC. Окружность Q2 касается Q1 и сторон AB и BC. Окружность Q3 касается Q2 и сторон AB и BC. Найдите радиус окружности Q3.
Легко найти r1.
Отсюда 
Треугольник A2BC2 подобен треугольнику A1BC1 с тем же коэффициентом подобия k. Поэтому 
Дан треугольник ABC. Известны длины его сторон: AB = BC = 78, AC = 60. Окружность Q1 вписана в треугольник ABC. Окружность Q2 касается Q1 и сторон AB и BC. Окружность Q3 касается Q2 и также сторон AB и BC. Найдите радиус окружности Q3.
Легко найти r1. Высота 
Отсюда 
Треугольник A2BC2 подобен треугольнику A1BC1 с тем же коэффициентом подобия k. Поэтому 
В треугольник ABC вписана окружность, которая касается стороны AC в точке P. Могут ли оба центра окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABP, вторая — в треугольник BPC, одновременно лежать на окружности, вписанной в треугольник ABC? Ответ объясните.
откуда QR — диаметр, значит, точка 
поэтому точки A, Q, O, R, C лежат на одной прямой, следовательно, пришли к противоречию.