РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4841 Добавить в вариант

Точки A₁, B₁, C₁  — точки пересечения продолжений высот остроугольного треугольника ABC с описанной вокруг ABC окружностью. Окружность, вписанная в треугольник A₁B₁C₁, касается одной из сторон ABC, а один из углов треугольника ABC равен 50°. Найдите два других угла треугольника ABC.

Спрятать решение

Решение.

Не умаляя общности, пусть окружность ω, вписанная в A₁B₁C₁, касается стороны BC. Пусть H  — точка пересечения высот треугольника ABC, K  — точка касания ω и BC, L  — точка касания ω и A₁C₁. Мы собираем доказать, что треугольник HBC₁ равносторонний. Тогда

$\angle B A C=\angle B C_1 C=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

откуда с учётом условия и будет следовать ответ.

Для начата заметим, что H есть точка пересечения биссектрис треугольника A₁B₁C₁. Действительно, например,

$\angle B_1 C_1 C=\angle B_1 B C=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle C=\angle C A A_1=\angle C C_1 A_1,$

то есть C₁H  — биссектриса угла A₁C₁B₁; аналогично проверяются и то, что A₁H и B₁H также являются биссектрисами соответствующих углов. Следовательно, H  — центр вписанной окружности треугольника A₁B₁C₁ и $H K=H L.$ Кроме того, выше доказано, что $\angle H C_1 L=\angle H B K,$ то есть прямоугольные треугольники HC₁L и HBK равны по катету и острому углу. Поэтому $H C_1=H B.$

Осталось заметить, что $H B=B C_1.$ Этот факт хорошо известен и может быть доказан различными способами. Приведём здесь лишь один из них. Заметим, что треугольники $А Н B$ и $A C_1 B$ равны по стороне (общая сторон а AB) и двум углам

$\angle H A B=\angle A_1 B_1 B=\angle C_1 B_1 B=\angle C_1 A B;$

аналогично доказываем, что $\angle H B A=\angle C_1 B A.$

Ответ: 60° и 70°.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

Аналоги к заданию № 4840: 4841 Все

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности и многоугольник, Методы геометрии. Свойства центроида, инцентра, ортоцентра

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь