Всего: 146 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
Дан параллелограмм ABCD. Окружность касается стороны AC треугольника ABC, а также продолжения сторон BA и BC в точках P и S соответственно. Отрезок PS пересекает стороны DA и DC в точках Q и R. Докажите, что вписанная окружность треугольника CDA касается сторон AD и DC в точках Q и R.
Снова пользуясь равенством отрезков касательных, получим, что 
На отрезке AB длины 10 как на диаметре построена окружность ω. Через точку A проведена касательная к ω, на которой выбрана точка K. Через точку K проведена прямая, отличная от AK, касающаяся окружности ω в точке C. Высота CH треугольника ABC пересекает отрезок BK в точке L. Найдите площадь треугольника CKL, если известно, что 
и 
Поэтому 
Вокруг четырехугольника ABCD описана окружность ω1. Через точки A и B проведена окружность ω2, пересекающая луч DB в точке
Луч CA пересекает окружность ω2, в точке 
Докажите, что если касательная к окружности ω1 в точке C параллельна прямой AE, то касательная к окружности ω2 в точке F параллельна прямой AD.
—
а на касательной к ω2 в точке F точку Y так, чтобы 
а угол GFY равен половине дуги 
поэтому 
а из вписанности четырехугольника ABEG, что 
Далее, из вписанности четырехугольника AEGF и параллельности прямых AE и CX следует, что 
и прямые FY и AG параллельны.На прямой, проходящей через центр O окружности радиуса 12 см, взяты точки A и B, лежащие по разные стороны от точки O так, что OA = 15 см, OB = 13 см. Из точек A и B проведены касательные к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону от прямой AB. Найдите площадь треугольника ABC, если C — точка пересечения этих касательных.
как угол между касательной и радиусом, проведённым в точку касания. Из прямоугольного треугольника AKO: 
Пусть 
тогда 
и 
либо AK и BN, либо CK и CN.Четырехугольник ABCD вписан в окружность ω, центр которой лежит на стороне АВ. Окружность ω1 касается внешним образом окружности ω в точке C. Окружность ω2 касается окружностей ω и ω1 в точках D и E соответственно. Прямая В вторично пересекает окружность ω1 в точке P, а прямая AD вторично пересекает окружность ω2 в точке Q. Известно, что точки P, Q и E различны. Найдите угол PEQ.
равнобедренные треугольники BOC и PO1C подобны, откуда 
Аналогично проверяется, что 
Тогда отрезки O1P и O2Q параллельны прямой AB и, значит, друг другу. Поэтому 
Таким образом, равнобедренные треугольники PO1E и QO2E подобны, откуда 
Значит, точка E лежит на отрезке PQ, что и дает ответ.
и 
Из равнобедренности треугольников O1CE и O2DE мы получаем, что 
и 
Вписанный угол CAD — половина центрального угла COD. Тогда 
и 
откуда 
Из вписанности четырехугольника PECS вытекает, что 
Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. На описанной окружности треугольника BOC вне треугольника ABC выбрана точка X. На лучах XB и XC за точками B и C выбраны такие точки Y и Z соответственно, что XY = XZ. Описанная окружность треугольника ABY пересекает сторону AC в точке T. Найдите угол YTZ.
как вписанные углы, опирающиеся на общую дугу. Поскольку четырехугольник BOCX вписанный, мы получим 
то есть точка T лежит на отрезке YZ.В остроугольном треугольнике ABC с наименьшей стороной AB провели высоты BB1 и CC1, они пересеклись в точке H. Через точку C1 провели окружность ω с центром в точке H и окружность ω1 с центром в точке C. Через точку A провели касательную к ω, касающуюся ее в точке K, а также касательную к ω1, касающуюся ее в точке L. Найдите угол KB1L.
а отрезки AC1 и AL — касательные, проведенные из точки A к окружности ω1, поэтому 
Следовательно, 
и 
а тогда 
так как по условию четырехугольник CHMN вписанный. Следовательно, прямые HM и AB параллельны (они обе перпендикулярны высоте CH). Стало быть, AHML — параллелограмм. Таким образом, 
и в четырехугольнике AMNH противоположные стороны AH и MN равны и параллельны. Следовательно, он тоже является параллелограммом. Тогда 
Дан треугольник ABC с меньшей стороной AB. На сторонах AB и AC выбраны соответственно точки X и Y так, что BX = CY. Под каким углом прямая, проходящая через центры описанных окружностей треугольников ABC и AXY, пересекает прямую BC, если 
и 
поскольку эти углы вписаны в ω и опираются на общую дугу. Аналогично проверяется равенство 
Тогда равны и дуги окружности ω, стягиваемые хордами BZ и CZ. Следовательно, 
и 
Треугольник ABC — равнобедренный с боковой стороной, равной a. Один их углов треугольника равен 120°. Точка O — центр окружности, касающейся основания треугольника и продолжений его боковых сторон, точка F — центр окружности, касающейся боковой стороны AB и продолжений основания AC и боковой стороны BC, а точка P — центр окружности, касающейся боковой стороны BC и продолжений основания AC и боковой стороны AB. Найдите площадь треугольника OFP.
следовательно, BH — биссектриса треугольника ABC, следовательно, BH — высота треугольника ABC, значит, прямая OH перпендикулярна AC, а значит H — точка касания окружности с прямой AC. Значит:
Следовательно, площадь равна
Около равнобедренного треугольника с углом 45° при вершине описана окружность. Вторая окружность касается первой внутренним образом и двух боковых сторон данного треугольника. Расстояние от центра второй окружности до данной вершины треугольника равно 4 см. Найдите расстояние от этого центра до центра окружности, вписанной в данный треугольник.
Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
и
По теореме косинусов 
так как 
Тогда 
Окружность радиуса 1 касается сторон AB и BC треугольника ABC, а окружность радиуса 3 внешним образом касается первой окружности и сторон AC и BC треугольника ABC. Общая касательная к этим окружностям, не содержащая сторону BC, пересекает отрезки AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите длины сторон треугольника ABC, если 
Точки O1, O2 — центры окружностей, P, R — точки касания окружностей со стороной BC. В прямоугольном треугольнике O1O2Q с прямым углом Q, точка 
имеем 
тогда 
значит, 
и 
Имеем 
и 
Найдем:
Окружность радиуса 4 касается сторон AB и BC треугольника ABC, а окружность радиуса 12 внешним образом касается первой окружности и сторон AC и BC треугольника ABC. Общая касательная к этим окружностям, не содержащая сторону BC, пересекает отрезки AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите длины сторон треугольника AMN, если
тогда 
значит, 
и 
и 
На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что площадь треугольника ADE равна 0,5. Вписанная в четырехугольник BDEC окружность касается стороны AB в точке K, причем AK = 3. Найдите тангенс угла BAC, если около четырехугольника BDEC можно описать окружность, и BC = 15.
Действительно, по свойствам касательных к окружности имеем (см. рис.):
и 
Следовательно, треугольники ADE и ACB подобны, и 
Тогда 
На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что площадь треугольника ADE равна 
Вписанная в четырехугольник BDEC окружность касается стороны AB в точке K, причем AK = 1. Найдите тангенс угла BAC, если около четырехугольника BDEC можно описать окружность, и BC = 5.
и 
Расстояния от центра вписанной в треугольник DEF окружности до точек A и C равны 
и 2, соответственно. Найдите длину стороны AB.
Пусть 
Тогда приходим к системе 
и 
Тогда 
и
следовательно, 
В треугольнике ABC проведены высоты AD, BE, CF. Длина стороны AC равна 
Расстояния от центра вписанной в треугольник DEF окружности до точек A и C равны 2 и 
соответственно. Найдите радиус описанной около треугольника DEF окружности.
Пусть 
и 
и 
Тогда 
и 
и 
Значит, 
следовательно, 
Итого: 
В треугольнике ABC проведены высоты AD, BE, CF. Длина стороны BC равна 6. Расстояния от центра вписанной в треугольник DEF окружности до точек B и C равны 
и 
соответственно. Найдите высоту треугольника DEF, проведенную к стороне DE.
и 
Пусть 
и 
Тогда приходим к системе 
и 
Тогда 
и
и 
значит, 
Итого, 
следовательно, 