В треугольнике ABC сторона BC равна 4, а угол ACB равен 
Окружность Г радиуса 
касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC. Найдите длины отрезков CL, MK, AB и площадь треугольника CMN.
Решение. Обозначим центр окружности через O, основание высоты треугольника проведённой из вершины C, через H, а угол ABC через β. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому
Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то
Тогда отрезок BK также равен 2. По сумме углов четырёхугольника OLCK находим, что 
Поскольку OL перпендикулярна AC и MK параллельна AC, то OL и MK — перпендикулярны. Треугольник MOK равнобедренный, высота в нём является биссектрисой, значит,
Отсюда
В силу параллельности прямых MK и AC получаем, что 
Рассмотрим треугольник MKB. По теореме косинусов
По теореме синусов
откуда
По теореме о касательной и секущей 
откуда
Значит, площадь треугольника CMN равна
Так как KM и AC — параллельны, треугольники BKM и BCA подобны, при этом коэффициент подобия равен 
Отсюда следует, что
Ответ: 
Критерии проверки:Найден отрезок CL (CK) — 1 балл;
Найден отрезок MK — 2 балла.
Найден отрезок AB — 2 балла.
Найдена площадь треугольника — 2 балла.
Внимание! Если при решении существенно используется, лежит ли центр данной окружности внутри треугольника ABC или вне него, то возможно получение неверных результатов в случае неверного расположения центра окружности.
Не исследовано, лежит ли центр окружности внутри треугольника ABC, и при этом расположение центра окружности используется в ходе решения — не более 5 баллов за задачу.
