сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В тре­уголь­ни­ке ABC сто­ро­на BC равна 4, а угол ACB равен дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Окруж­ность Г ра­ди­у­са 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ка­са­ет­ся сто­рон BC и AC тре­уголь­ни­ка ABC в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точ­ках M и N (M лежит между A и N) так, что от­ре­зок MK па­рал­ле­лен AC. Най­ди­те длины от­рез­ков CL, MK, AB и пло­щадь тре­уголь­ни­ка CMN.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим центр окруж­но­сти через O, ос­но­ва­ние вы­со­ты тре­уголь­ни­ка про­ведённой из вер­ши­ны C, через H, а угол ABC через β. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на бис­сек­три­се этого угла, по­это­му

\angle O C K= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle A C B=60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

Так как ра­ди­ус, про­ведённый в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной, то

C K=O K \ctg \angle O C K=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби =2 .

Тогда от­ре­зок BK также равен 2. По сумме углов четырёхуголь­ни­ка OLCK на­хо­дим, что \angle L O K=60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

По­сколь­ку OL пер­пен­ди­ку­ляр­на AC и MK па­рал­лель­на AC, то OL и MK  — пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Тре­уголь­ник MOK рав­но­бед­рен­ный, вы­со­та в нём яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой, зна­чит,

\angle M O K=2 \angle L O K=120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

От­сю­да

M K=2 умно­жить на M O умно­жить на синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =6.

В силу па­рал­лель­но­сти пря­мых MK и AC по­лу­ча­ем, что \angle M K B=120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Рас­смот­рим тре­уголь­ник MKB. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

B M в квад­ра­те =B K в квад­ра­те плюс K M в квад­ра­те минус 2 умно­жить на B K умно­жить на K M умно­жить на ко­си­нус 120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =52 \Rightarrow B M=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та .

По тео­ре­ме си­ну­сов

дробь: чис­ли­тель: M K, зна­ме­на­тель: синус бета конец дроби = дробь: чис­ли­тель: B M, зна­ме­на­тель: синус 120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби ,

от­ку­да

синус бета = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби ; \quad C H=B C синус бета = дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

По тео­ре­ме о ка­са­тель­ной и се­ку­щей B K в квад­ра­те =B M умно­жить на B N, от­ку­да

B N= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби ; \quad M N=B M минус B N= дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Зна­чит, пло­щадь тре­уголь­ни­ка CMN равна

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби C H умно­жить на M N= дробь: чис­ли­тель: 72 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби .

Так как KM и AC  — па­рал­лель­ны, тре­уголь­ни­ки BKM и BCA по­доб­ны, при этом ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен B K: B C=1: 2 . От­сю­да сле­ду­ет, что

дробь: чис­ли­тель: B M, зна­ме­на­тель: B A конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \Rightarrow A B=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: CL =2 , MK=6, AD=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , S_ ALN= дробь: чис­ли­тель: 72 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Най­ден от­ре­зок CL (CK) — 1 балл;

Най­ден от­ре­зок MK — 2 балла.

Най­ден от­ре­зок AB — 2 балла.

Най­де­на пло­щадь тре­уголь­ни­ка — 2 балла.

Вни­ма­ние! Если при ре­ше­нии су­ще­ствен­но ис­поль­зу­ет­ся, лежит ли центр дан­ной окруж­но­сти внут­ри тре­уголь­ни­ка ABC или вне него, то воз­мож­но по­лу­че­ние не­вер­ных ре­зуль­та­тов в слу­чае не­вер­но­го рас­по­ло­же­ния цен­тра окруж­но­сти.

Не ис­сле­до­ва­но, лежит ли центр окруж­но­сти внут­ри тре­уголь­ни­ка ABC, и при этом рас­по­ло­же­ние цен­тра окруж­но­сти ис­поль­зу­ет­ся в ходе ре­ше­ния — не более 5 бал­лов за за­да­чу.


Аналоги к заданию № 1154: 1161 Все

Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024