Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть P — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник CBD. Луч BP пересекает сторону DA в точке M, а луч DQ пересекает сторону BC в точке N. Оказалось, что 
и 
а) Найдите отношение 
б) Пусть дополнительно известно, что данные в условии окружности касаются. Найдите длины сторон AB и CD.
а) Так как биссектриса треугольника делит его сторону пропорционально двум другим сторонам,
и
Следовательно,
б) Обозначим точки касания окружности, вписанной в треугольник ABD, с его сторонами AB, AD, BD через P, F, K соответственно; точки касания окружности, вписанной в треугольник BCD с его сторонами BC, CD, BD — через Q, E, K соответственно (по условию точка касания со стороной BD общая). Пусть 
Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения
В пункте а) было получено, что 
откуда
Тогда 
Ответ: а) 
б) 
