РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1189 Добавить в вариант

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть P  — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, а Q  — центр окружности, вписанной в треугольник CBD. Луч BP пересекает сторону DA в точке M, а луч DQ пересекает сторону BC в точке N. Оказалось, что $AM= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $DM = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $BN= дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби$ и $CN= дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби .$

а)  Найдите отношение $AB : CD.$

б)  Пусть дополнительно известно, что данные в условии окружности касаются. Найдите длины сторон AB и CD.

Спрятать решение

Решение.

а)  Так как биссектриса треугольника делит его сторону пропорционально двум другим сторонам,

$A B: B D=A M: M D=2: 1$

или

$B D: D C=B N: N C=2: 3 .$

Следовательно,

$A B: C D=2 умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби =4: 3.$

б)  Обозначим точки касания окружности, вписанной в треугольник ABD, с его сторонами AB, AD, BD через P, F, K соответственно; точки касания окружности, вписанной в треугольник BCD с его сторонами BC, CD, BD  — через Q, E, K соответственно (по условию точка касания со стороной BD общая).

Пусть $B K=x,$ $K D=y.$ Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения

$B Q=B P=B K=x,$ $D F=D E=D K=y,$ $A F=A D минус D F=4 минус y,$ $A P=A F=4 минус y,$ $C Q=B C минус B Q=3 минус x,$ $C E=C Q=3 минус x,$ $A B=A P плюс P B=4 плюс x минус y,$ $C D=3 минус x плюс y.$