Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Окружность с центром в точке Ob проходит через точки A, C1 и середину отрезка BH. Окружность с центром в точке Oc проходит через точки A, B1 и середину отрезка CH. Докажите, что 
Прежде всего обозначим середину отрезка BM через M, а окружность, проходящую через A, 
для решения задачи достаточно доказать неравенство 
и, аналогично, 
Это неравенство следует из удивительного факта: расстояние от точки 
до прямой AC равно в точности 
Пусть точка 
симметрична вершине B относительно прямой AC. Проверим, что она лежит на окружности 
Для этого нужно доказать, что 
В самом деле,
последнее равенство следует из вписанности четырехугольника 
Таким образом, центр 
окружности w должен лежать на серединном перпендикуляре к ее хорде 
Значит, расстояние от до AC равно расстоянию между этим серединным перпендикуляром и прямой AC, то есть между серединами отрезков 
и 
Оно в два раза меньше, чем расстояние от M до B, то есть равно 
что и требовалось.