Дана прямоугольный треугольник ABC. На продолжении гипотенузы BC выбрана точка D так, что прямая AD — касательная к описанной окружности ω треугольник ABC. Прямая AC пересекает описанную окружность треугольник ABD в точке E. Оказалось, что биссектриса угол ADE касается окружности ω. В каком отношении точка C делит отрезок AE?
Пусть
K и L — точки пересечения биссектрисы угла ADE с AE и ω соответственно. Угол между касательной AD к окружности ω и хордой AC равен вписанному углу, который опирается на AC, откуда 
Кроме того, вписанные углы AED и α опираются на хорду AD и потому равны. Тогда
и треугольник ADE равнобедренный. Поэтому биссектриса DK является также его медианой и высотой. Значит, катет AB параллелен отрезку DL, поскольку прямые AB и DL перпендикулярны AE. Прямоугольные треугольники AOD и LOD равны по катету и гипотенузе, откуда
Из прямоугольного треугольника ADK мы получаем, что 
и 
Тогда 
и по свойству биссектрисы
откуда
Ответ: 