Всего: 385 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
кг, а общая масса соли в 5%-ом и 20%-ом растворах равна массе соли в 90 кг 7%-ого раствора: 
откуда 
и 
В детском саду каждому ребёнку выдали по три карточки, на каждой из которых написано либо «МА», либо «НЯ». Оказалось, что слово «МАМА» из своих карточек могут сложить 20 детей, слово «НЯНЯ» — 30 детей, а слово «МАНЯ» — 40 детей. У скольких детей все три карточки были одинаковы?
значит, искомое число равно 
детей.
откуда 
Значит, 
что и требовалось доказать.На плоскости дан отрезок АВ длины 1 и на нём произвольная точка М. На отрезках АМ и МВ как на сторонах построены квадраты AMCD и MBEF, лежащие по одну сторону от АВ. Пусть P и Q — точки пересечения диагоналей этих квадратов соответственно. Найдите геометрическое место середин отрезков PQ, когда точка М пробегает весь отрезок АВ.
Значит, расстояние от середины PQ до АВ равно 
Далее, если обозначит, длину АХ через 
то длина АY равна 
и расстояние от А до проекции середины PQ равно полусумме этих длин, то есть 
что находится в пределах от 
до 
Таким образом, мы доказали, что середина PQ всегда лежит на указанном в ответе отрезке ST. Заметим, что точки P и Q при этом перемещаются по катетам АК и ВК треугольника АКВ из ответа. 
известно, что все они — различные простые числа. Найти все значения, которые может принимать наименьшее из этих семи чисел.
Если два из них равны, а третье имеет противоположный знак, то на 3 будет будет делиться одно из чисел 
В обоих случаях одно из семи чисел делится на 3 и по предположению больше 3, что противоречит его простоте. Следовательно, минимальное из семи чисел в условии может быть равно только 3. Пример таких чисел: 
и 
второе эквивалентно 
Итого, 
Ввиду неотрицательности левой и правой частей уравнения можно возвести всё в квадрат, получив 
то есть 
При 
получим единственный ответ 
а при 
получим верное тождество 1 = 1, поэтому весь этот промежуток является решением.
Сначала шарики были разложены по нескольким белым и чёрным коробкам так, что в каждой белой было по 31 шарику, а в каждой чёрной — по 26 шариков. Затем принесли ещё три коробки и разложили шарики так, что в каждой белой коробке стало по 21 шарику, а в каждой чёрной — по 16 шариков. Можно ли принести ещё несколько коробок и разложить шарики так, чтобы в каждой белой коробке стало по 15 шариков, а в каждой чёрной — по 10 шариков?
Тогда и горизонтальная проекция отрезка AB имеет длину не больше 
поэтому длина отрезка АB не больше 
.
таких, что среди всех возможных попарных сумм этих натуральных чисел ровно 7 различных. Общее количество пар из n чисел равно 
и должно быть не меньше 7, поэтому 
С другой стороны, ввиду очевидных неравенств: 
имеем 
и 
Следовательно, 
и каждая невыписанная попарная сумма чисел 
и все они больше 
и меньше 
По условию, они должны совпадать с суммами 
в указанном порядке. Отсюда: 
следовательно, числа 
образуют арифметическую прогрессию. Тогда их сумма равна 
откуда следует, что число 4032 должно делиться на 5 — противоречие. 
.
.
тогда последнее равно 
а их сумма равна 
откуда 
— нечётно. С другой стороны, для любого нечётного n сумма n последовательныхнатуральных чисел 
равна, очевидно, 
поэтому любое нечётное n удовлетворяет условию.
после преобразований получим:
откуда 
Следовательно, 
затем свернуть сумму первого и третьего слагаемых в удвоенное произведение косинусов, выразить всё через 
получив уравнение 
с решениями 
или 
.При каком наименьшем n выполнено условие: если в некоторых клетках таблицы размера 
в произвольном порядке расставить n крестиков (не более одного в клетке), то обязательно найдутся три клетки, образующие полоску длины 3, вертикальную или горизонтальную, в каждой из которых поставлен крестик?
откуда 
то есть 
Во-вторых, если в произведении всех цифр натурального числа заменить все цифры, кроме первой, на десятки, то произведение не уменьшится, но будет не больше самого числа, поэтому произведение всех цифр числа не превосходит самого числа, значит, 
откуда, 
то есть 
Для 
условие, очевидно, выполнено, следовательно, это единственный ответ.
На плоскости дан отрезок АВ и на нём произвольная точка М. На отрезках АМ и МВ как на сторонах построены квадраты AMCD и MBEF , лежащие по одну сторону от АВ, и N — точка пересечения прямых AF и BC. Докажите, что при любом положении точки М на отрезке АВ каждая прямая МN проходит через некоторую точку S, общую для всех таких прямых.
Купец купил в Твери несколько мешков соли и продал их в Москве с прибылью в 100 рублей. На все вырученные деньги он снова купил в Твери соль (по тверской цене) и продал в Москве (по московской цене). На этот раз прибыль составила 120 рублей. Сколько денег он потратил на первую покупку?
рублей. Следовательно, после второй покупки-продажи он получит 
рублей. Решая, получим 
По окружности выписано 10 чисел, сумма которых равна 100. Известно, что сумма каждых трех чисел, стоящих рядом, не меньше 29. Укажите такое наименьшее число А, что в любом наборе чисел, удовлетворяющем условию, каждое из чисел не превосходит А.
Пример набора с максимальным числом 13: 13, 9, 10, 10, 9, 10, 10, 9, 10, 10. 
В четырёхугольнике АВСD точки P, Q, R, S — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно, а T — точка пересечения отрезков PR и QS. Докажите, что сумма площадей четырёхугольников APTS и СRTQ равна половине площади четырёхугольника АВСD.
и не больше 
Следовательно, разность между суммой всех цифр числа, стоящих на нечётных местах и суммой его цифр, стоящих на чётных местах, равная 
является нечётным числом из интервала от −15 до 25, делящимся на 11. 
и 
Соображения минимальности дают для них число 1526384970.
т. е. ни одна из сумм 
множеству M не принадлежит. Кроме того, суммы 
и 
не могут одновременно принадлежать M, поскольку 
Получается, что по крайней мере для одной из троек (a1, a2, a3) и (a1, a2, a4) сумма любых двух ее элементов множеству M не принадлежит.