Ре­ше­ние. Число 990 есть про­из­ве­де­ние вза­им­но про­стых чисел 2, 5, 9 и 11. Любое де­ся­ти­знач­ное число, со­став­лен­ное из раз­лич­ных цифр, взя­тых по разу, де­лит­ся на 9, так как их сумма, рав­ная 45, де­лит­ся на 9. По при­зна­ку де­ли­мо­сти на 10 ис­ко­мое число долж­но окан­чи­вать­ся на 0. Оста­лось разо­брать­ся с де­ли­мо­стью на 11.

При­знак де­ли­мо­сти на 11 зву­чит так: число де­лит­ся на 11 тогда и толь­ко тогда, когда раз­ность между сум­мой всех его цифр, сто­я­щих на нечётных по по­ряд­ку слева на­пра­во ме­стах и сум­мой его цифр, сто­я­щих на чётных ме­стах, де­лит­ся на 11. Оце­ним зна­че­ние S суммы цифр ис­ко­мо­го числа, сто­я­щих на нечётных ме­стах: оно не мень­ше и не боль­ше Сле­до­ва­тель­но, раз­ность между сум­мой всех цифр числа, сто­я­щих на нечётных ме­стах и сум­мой его цифр, сто­я­щих на чётных ме­стах, рав­ная яв­ля­ет­ся нечётным чис­лом из ин­тер­ва­ла от −15 до 25, де­ля­щим­ся на 11.

Таких чисел всего два: −11 и 11, для них S со­от­вет­ствен­но, равна 17 и 28. Легко убе­дить­ся, что для S  =  17 есть толь­ко два ва­ри­ан­та и Со­об­ра­же­ния ми­ни­маль­но­сти дают для них число 1526384970.

Для S  =  28 будем вы­пи­сы­вать по по­ряд­ку ми­ни­маль­но воз­мож­ные цифры слева на­пра­во, пока это воз­мож­но с со­блю­де­ни­ем усло­вия, что сумма цифр на ме­стах с нечётными но­ме­ра­ми может быть равна в итоге 28, а сумма цифр на ме­стах с чётными но­ме­ра­ми  — 17. По­лу­чит­ся 1234, далее сумма остав­ших­ся 3 цифр на пятом, седь­мом и де­вя­том ме­стах долж­на рав­нять­ся 24, что воз­мож­но толь­ко, если они равны 7, 8 и 9, от­ку­да и по­лу­ча­ет­ся число в от­ве­те. Оно мень­ше, чем ранее най­ден­ное 1526384970 для S  =  17. Если бы можно было найти мень­шее число, для него было бы S  =  28 и пятая слева цифра была бы мень­ше 7, что, как мы по­ня­ли, не­воз­мож­но.

Ответ: 1234758690.