В четырёхугольнике АВСD точки P, Q, R, S — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно, а T — точка пересечения отрезков PR и QS. Докажите, что сумма площадей четырёхугольников APTS и СRTQ равна половине площади четырёхугольника АВСD.
Покажем, что площадь четырёхугольника PQRS равна половине площади ABCD. Заметим, что отрезок PS является средней линией треугольника АВD, поэтому площадь треугольника APS равна четверти площади треугольника ABD. Аналогично, площадь треугольника QСR равна четверти площади треугольника BCD, а сумма площадей QСR и APS равна четверти площади ABCD. Так же доказывается, что и сумма площадей PBQ и RDS равна четверти площади ABCD. Наконец, площадь PQRS равна разности площадей ABCD и треугольников QСR, APS, PBQ и RDS, то есть половине площади ABCD.
Окончательно, сумма площадей четырёхугольников APTS и СRTQ равна сумме площадей треугольников QСR и APS и треугольников PSТ и QRТ. Последняя составляет половину площади параллелограмма PQRS, поэтому ответом является сумма двух четвертей площади ABCD, то есть половине площади ABCD.