На плоскости дан отрезок АВ и на нём произвольная точка М. На отрезках АМ и МВ как на сторонах построены квадраты AMCD и MBEF , лежащие по одну сторону от АВ, и N — точка пересечения прямых AF и BC. Докажите, что при любом положении точки М на отрезке АВ каждая прямая МN проходит через некоторую точку S, общую для всех таких прямых.
Треугольники АМF и СМВ равны по двум прямым углам и двум парам катетов. Более того, второй получается из первого поворотом на 90 градусов относительно точки М по часовой стрелке, следовательно, их гипотенузы AF и BC перпендикулярны. Значит, точка N лежит на окружности с диаметром АВ. Кроме того, угол FNB, равный углу
АNB, тоже прямой, следовательно, точка N лежит на описанной окружности квадрата MBEF.
Отсюда получаем в случае, когда точка М ближе к В, угол FNM равен углу FEM как вписанный, опирающийся на одну хорду FM, и имеет величину 45 градусов. В случае, когда точка М ближе к А, угол ВNM равен углу ВEM как вписанный, опирающийся на одну хорду FM, и имеет величину 45 градусов.
В обоих случаях прямая МN всегда является биссектрисой прямого угла АNB и проходит через середину дуги окружности c диаметром АВ, не содержащей точку N и не зависящей от выбора М.