Опу­стим из точек P и Q пер­пен­ди­ку­ля­ры PX и QY на АВ, четырёхуголь­ник PXYQ яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей, по­это­му рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны PQ до АВ равно длине её сред­ней линии, то есть по­лу­сум­ме длин PX и QY. Длины PX и QY равны по­ло­ви­нам длин рёберк­вад­ра­тов AMCD и MBEF и их сумма равна по­ло­ви­не длины АВ, то есть Зна­чит, рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны PQ до АВ равно Далее, если обо­зна­чит, длину АХ через то длина АY равна и рас­сто­я­ние от А до про­ек­ции се­ре­ди­ны PQ равно по­лу­сум­ме этих длин, то есть что на­хо­дит­ся в пре­де­лах от до Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли, что се­ре­ди­на PQ все­гда лежит на ука­зан­ном в от­ве­те от­рез­ке ST. За­ме­тим, что точки P и Q при этом пе­ре­ме­ща­ют­ся по ка­те­там АК и ВК тре­уголь­ни­ка АКВ из от­ве­та.

В об­рат­ную сто­ро­ну, рас­смот­рим про­из­воль­ную точку R на от­рез­ке ST. Нужно по­ка­зать, что она яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка PQ при не­ко­то­ром вы­бо­ре точки М. Если R сов­па­да­ет с S или T, нужно взять М сов­па­да­ю­щей с А или В со­от­вет­ствен­но. Если R  — внут­рен­няя точка от­рез­ка ST, про­ведём от­ре­зок КZ с се­ре­ди­ной в R и Z на АВ, через Z про­ведём пря­мые, па­рал­лель­ные ка­те­там АК и ВК. Их точки пе­ре­се­че­ния с от­рез­ка­ми ВК и АК со­от­вет­ствен­но будут точ­ка­ми P и Q, так как R будет точ­кой пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма PKQZ. Точка М при этом сим­мет­рич­на точке А от­но­си­тель­но про­ек­ции Р₁ точки Р на АВ, или сим­мет­рич­на точке В от­но­си­тель­но про­ек­ции Q₁ точки Q на АВ. Эти про­ек­ции сов­па­да­ют, так как сумма длин АР₁ и ВQ₁ равна сумме длин PP₁ и QQ₁, ко­то­рая равна удво­ен­но­му рас­сто­я­нию от R до АВ, то есть

Ответ: Сред­няя линия ST рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AKB, по­стро­ен­но­го на АВ, как на ги­по­те­ну­зе по ту же стро­ну от АВ, что и квад­ра­ты. Это от­ре­зок длины ½ на вы­со­те ¼ от АВ, па­рал­лель­ный АВ, про­ек­ция ко­то­ро­го на АВ сов­па­да­ет с ин­тер­ва­лом