Пусть M — конечное множество чисел (различных). Известно, что среди любых трех его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит M. Какое наибольшее число элементов может быть в M?
Пример множества из 7 элементов: {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}.
Докажем, что множество M = {a1, a2, ..., an} из n > 7 чисел требуемым свойством не обладает. Можно считать, что a1 > a2 > a3 > ... > an и a4 > 0 (смена знаков всех элементов наше свойство не меняет). Тогда 
т. е. ни одна из сумм 
множеству M не принадлежит. Кроме того, суммы 
и 
не могут одновременно принадлежать M, поскольку 
Получается, что по крайней мере для одной из троек (a1, a2, a3) и (a1, a2, a4) сумма любых двух ее элементов множеству M не принадлежит.
Ответ: 7.