сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 7 8 9

Всего: 385    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100

Добавить в вариант

Из пунк­та А в пункт Б вышел Па­ра­мон. В 1200 , когда он прошёл по­ло­ви­ну пути до Б, вслед за ним из А в Б вы­бе­жал Ага­фон, и од­но­вре­мен­но из Б в А вышел Со­ло­мон. В 1320 Ага­фон встре­тил­ся с Со­ло­мо­ном, а в 1400 до­гнал Па­ра­мо­на. Во сколь­ко про­изо­шла встре­ча Па­ра­мо­на и Со­ло­мо­на?


Ме­ди­а­на АМ тре­уголь­ни­ка АВС делит от­ре­зок PR, па­рал­лель­ный сто­ро­не АС, с кон­ца­ми на сто­ро­нах АВ и ВС, на от­рез­ки длины 5 см и 3 см, счи­тая от сто­ро­ны АВ. Чему равна длина сто­ро­ны АС?


Можно ли из дро­бей  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 99 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 98 конец дроби , \ldots, дробь: чис­ли­тель: 100, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби (все дроби с на­ту­раль­ны­ми чис­ли­те­лем и зна­ме­на­те­лем, сумма чис­ли­те­ля и зна­ме­на­те­ля ко­то­рых равна 101) вы­брать три, про­из­ве­де­ние ко­то­рых равно 1?


Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках А и В, и центр О пер­вой из них лежит на вто­рой. На вто­рой окруж­но­сти вы­бра­на не­ко­то­рая точка S, от­ре­зок пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке Р. До­ка­зать, что Р яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка АВS.


Мно­же­ство Х раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, не пре­вос­хо­дя­щих n та­ко­во, что сумма любых двух, в том числе и сов­па­да­ю­щих, эле­мен­тов Х, не пре­вос­хо­дя­щая n, тоже при­над­ле­жит Х. До­ка­зать, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел мно­же­ства Х не мень­ше  дробь: чис­ли­тель: n плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .


Из­вест­но, что сумма цифр числа А равна 59, а сумма цифр числа В равна 77. Какую ми­ни­маль­ную сумму цифр может иметь число А плюс В?


На ост­ро­ве про­жи­ва­ют 20 че­ло­век, часть из них ры­ца­ри, ко­то­рые все­гда го­во­рят прав­ду, а осталь­ные  — лжецы, ко­то­рые все­гда лгут. Каж­дый ост­ро­ви­тя­нин точно знает, кто из осталь­ных ры­царь, а кто  — лжец. На во­прос при­ез­же­го, сколь­ко ры­ца­рей про­жи­ва­ют на ост­ро­ве, пер­вый из ост­ро­ви­тян от­ве­тил: «Ни од­но­го», вто­рой: «Не более од­но­го», тре­тий: «Не более двух», четвѐртый: «Не более трёх» и т. д., два­дца­тый за­явил: «Не более де­вят­на­дца­ти». Так сколь­ко же ры­ца­рей про­жи­ва­ют на ост­ро­ве?


Найти ве­ли­чи­ну вы­ра­же­ния  дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: y плюс z конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: x плюс z конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: z, зна­ме­на­тель: x плюс y конец дроби , если из­вест­но, что  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: y плюс z конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс z конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс y конец дроби =5 и x плюс y плюс z=2.


В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС от­ме­че­ны: точка К  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы АВ и на ка­те­те ВС точка М такая, что ВМ : МС = 2. Пусть от­рез­ки АМ и СК пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Р. До­ка­жи­те, что пря­мая КМ ка­са­ет­ся опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка АКР.


В фут­боль­ном тур­ни­ре участ­во­ва­ло 10 ко­манд, каж­дая из ко­то­рых с каж­дой из осталь­ных сыг­ра­ла по од­но­му матчу. По окон­ча­нии тур­ни­ра вы­яс­ни­лось, что для любой трой­ки ко­манд най­дут­ся две ко­ман­ды из этой трой­ки, на­брав­ших рав­ное число очков в играх с ко­ман­да­ми из этой трой­ки. До­ка­зать, что все ко­ман­ды можно раз­бить не более, чем на три под­груп­пы таких, что любые две ко­ман­ды из одной под­груп­пы сыг­ра­ли между собой вни­чью. За вы­иг­рыш в фут­бо­ле ко­ман­да по­лу­ча­ет 3 очка, за ничью  — 1 очко и за про­иг­рыш  — 0 очков.


Найти все на­ту­раль­ные числа n, такие, что  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: p конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: q конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: p q конец дроби для не­ко­то­рых про­стых p и q.


По ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти, стар­туя в на­ча­ле ко­ор­ди­нат, пры­га­ет куз­не­чик. Пер­вый пры­жок длины один сан­ти­метр на­прав­лен вдоль оси ОХ, каж­дый сле­ду­ю­щий пры­жок на 1 см длин­нее преды­ду­ще­го, и на­прав­лен пер­пен­ди­ку­ляр­но преды­ду­ще­му в одну из двух сто­рон по его вы­бо­ру. Смо­жет ли куз­не­чик после 31-ого прыж­ка ока­зать­ся в на­ча­ле ко­ор­ди­нат?


Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках Р и М. На пер­вой окруж­но­сти вы­бра­на про­из­воль­ная точка А, от­лич­ная от Р и М и ле­жа­щая внут­ри вто­рой окруж­но­сти, лучи РА и МА вто­рич­но пе­ре­се­ка­ют вто­рую окруж­ность в точ­ках В и С со­от­вет­ствен­но. До­ка­зать, что пря­мая, про­хо­дя­щая через А и центр пер­вой окруж­но­сти, пер­пен­ди­ку­ляр­на ВС.


Найти все функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , опре­делённые на всей чис­ло­вой пря­мой, удо­вле­тво­ря­ю­щие урав­не­нию f левая круг­лая скоб­ка y минус f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =1 минус x минус y для про­из­воль­ных x и y.


Най­дут­ся ли пять по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел таких, что если обо­зна­чить их бук­ва­ми a, b, c, d, e в не­ко­то­ром по­ряд­ке, то вы­пол­нит­ся ра­вен­ство  левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка c плюс d пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка d плюс e пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка e плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка a плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка c плюс e пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка e плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс d пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка d плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка ?


Найти ве­ли­чи­ну вы­ра­же­ния  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 плюс x в квад­ра­те конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 плюс y в квад­ра­те конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 1 плюс x y конец дроби , если из­вест­но, что x e y и сумма пер­вых двух сла­га­е­мых вы­ра­же­ния равна тре­тье­му.


По ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти, стар­туя в на­ча­ле ко­ор­ди­нат, пры­га­ет куз­не­чик. Пер­вый пры­жок длины один см на­прав­лен вдоль оси ОХ, каж­дый сле­ду­ю­щий пры­жок на 1 см длин­нее преды­ду­ще­го, и на­прав­лен пер­пен­ди­ку­ляр­но преды­ду­ще­му в одну из двух сто­рон по его вы­бо­ру. Смо­жет ли куз­не­чик после со­то­го прыж­ка ока­зать­ся в на­ча­ле ко­ор­ди­нат?


Найти все на­ту­раль­ные числа, ко­то­рые можно пред­ста­вить од­но­вре­мен­но как сумму не­сколь­ких (боль­ше од­но­го) на­ту­раль­ных чисел и как про­из­ве­де­ние тех же на­ту­раль­ных чисел.


В тре­уголь­ни­ке АВС от­рез­ки АК, ВL и СМ  — вы­со­ты, Н  — их точка пе­ре­се­че­ния, S  — точка пе­ре­се­че­ния МК и ВL, Р  — се­ре­ди­на от­рез­ка АН, Т  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой и сто­ро­ны АВ. До­ка­зать, что пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на сто­ро­не ВС.


Пусть a_1, a_2, \ldots, a_n  — про­из­воль­ные дей­стви­тель­ные числа. До­ка­зать, что найдётся на­ту­раль­ное k, 1 мень­ше или равно k мень­ше или равно n такое, что все k сред­них ариф­ме­ти­че­ских  дробь: чис­ли­тель: a _1 плюс \ldots плюс a _ k , зна­ме­на­тель: k конец дроби , дробь: чис­ли­тель: a _2 плюс \ldots плюс a _ k , зна­ме­на­тель: k минус 1 конец дроби , \ldots, дробь: чис­ли­тель: a _ k минус 1 плюс a _ k , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: a _ k , зна­ме­на­тель: 1 конец дроби не пре­вос­хо­дят  дробь: чис­ли­тель: a _1 плюс \ldots плюс a _ n , зна­ме­на­тель: n конец дроби .

Всего: 385    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100