РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 79 Добавить в вариант

Две окружности пересекаются в точках Р и М. На первой окружности выбрана произвольная точка А, отличная от Р и М и лежащая внутри второй окружности, лучи РА и МА вторично пересекают вторую окружность в точках В и С соответственно. Доказать, что прямая, проходящая через А и центр первой окружности, перпендикулярна ВС.

Спрятать решение

Решение.

Пусть Е  — точка первой окружности, диаметрально противоположная А. Нам нужно доказать, что прямые АЕ и ВС перпендикулярны. Точка Е может лежать как вне второй окружности, так и внутри неё, либо может совпадать с Р или М.

1.  Точка А лежит внутри второй окружности, Е не совпадает с Р или М. Обозначим точку пересечения ВС и прямой АЕ за Т. Тогда $\angle СВР =\angle СМР,$ как вписанные во вторую окружность, опирающиеся на общую хорду РС, и $\angle СМР = \angle АМР=\angle АЕР,$ как вписанные в первую окружность, опирающиеся на общую хорду РА. Следовательно, четырёхугольник ВТРЕ вписанный, поэтому $\angle ВТЕ=\angle ВРЕ=\angle АРЕ=90 градусов.$

2.  Точка А лежит внутри второй окружности, и Е совпадает, скажем, с Р, то четырёхугольник СВМР вписанный, поэтому $\angle СВР=\angle СМР=\angle АМР=\angle АМЕ=90 градусов$ и прямые АЕ и ВС перпендикулярны.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верный ответ.	7
Если пропущена возможность, когда Е совпадает с Р или М.	5
Нерассмотрение одного из случаев, когда точка Е лежит вне второй окружности, или внутри неё, не карается, так, как счёт углов в обоих случаях совершенно одинаковый.	7
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Всесибирская олимпиада школьников, 10 класс, 3 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности и системы окружностей, Геометрия: планиметрия. Четырехугольник произвольный

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь