В прямоугольном треугольнике АВС отмечены: точка К — середина гипотенузы АВ и на катете ВС точка М такая, что 
Пусть отрезки АМ и СК пересекаются в точке Р. Докажите, что прямая КМ касается описанной окружности треугольника АКР.
Пусть Т — середина отрезка ВМ, длины отрезков ВТ, ТМ и МС равны. По теореме, обратной теореме Фалеса, прямые АМ и КТ параллельны, поэтому углы КАМ и ВКТ. В прямоугольном треугольнике АВС точка К — середина гипотенузы АВ, поэтому углы КСВ и КВС. Треугольники ВКТ и МКС равны по двум углам 
и двум парам равных соответствующих сторон 
и 
Следовательно, 
Значит, угол между хордой КР и прямой КМ, равный углу МКС, равен вписанному углу КАР, опирающемуся на хорду КР, поэтому КМ — касательная к описанной окружности треугольника АКР в точке К.
.
.