Две окружности пересекаются в точках А и В, и центр О первой из них лежит на второй. На второй окружности выбрана некоторая точка S, отрезок SО пересекает первую окружность в точке Р. Доказать, что Р является центром вписанной окружности треугольника АВS.
Нужно доказать, что Р является точкой пересечения биссектрис треугольника АВS. Отрезки ОА и ОВ равны, как радиусы первой окружности, поэтому равны дуги ОА и ОВ второй окружности, следовательно, равны опирающиеся на них вписанные углы ASO и BSO. Значит, SO и с ней SР является биссектрисой угла АSВ. Обозначим точку пересечения отрезка SВ с первой окружностью за Q. Первая окружность и прямые SА и SВ симметричны относительно прямой SO, поэтому точки А и Q также симметричны относительно прямой SO, следовательно, отрезки АР и QP равны, поэтому равны дуги АР и QP первой окружности, следовательно, равны опирающиеся на них вписанные углы AВР и QВP. Значит, ВР является биссектрисой угла 
Таким образом, Р является точкой пересечения биссектрис углов АSВ и АВS и центром вписанной окружности треугольника АВS.