РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 76 Добавить в вариант

Найти все натуральные числа n, такие, что $дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: p конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: q конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: p q конец дроби$ для некоторых простых p и q.

Спрятать решение

Решение.

Приведя выражение в условии к общему знаменателю, получим: $n левая круглая скобка p плюс q плюс 1 правая круглая скобка =pq.$ Из простоты p и q следует, что делителями правой части могут быть только числа 1, p, q и pq, одно из которых и должно равняться $p плюс q плюс 1.$ Ввиду того, что 1, p и q меньше $p плюс q плюс 1,$ получаем $p q=p плюс q плюс 1$ и $n=1.$ Перепишем последнее равенство в виде $левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка q минус 1 правая круглая скобка =2,$ откуда $p=2,$ $q=3$ или $p=3,$ $q=2.$

Ответ: $n=1.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верный ответ.	7
Угадано $n=1$ и $p=2$ , $q=3$ .	1
Доказано, что $n=1$ — единственное число, которое может удовлетворять условию.	5
Показано, что оно удовлетворяет условию при $p=2$ , $q=3$ или $p=3$ , $q=2$ .	2
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Всесибирская олимпиада школьников, 10 класс, 3 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Суммы и произведения, Алгебра: числа. Простые числа, Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь