Всего: 223 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Определить, при каких целых значениях x функция 
принимает наименьшее целое значение.
Запишем функцию f(x) в следующем виде:
Следовательно, для целых х значение f(x) будет целым в том и только том случае, когда x − 4 является одним из делителей числа 10, то есть принимает значения ±1, ±2, ±5, ±10. Вычисляя значения функции f(x), находим, что наименьшее целое значение −13 функция f(x) принимает при целых x = − 6 или x = 5.
Ответ: 
За обоснованное решение — 7 баллов, если получено, что наименьшее значение функции достигается только в одной точке при обоснованном решении — 4 балла.
Найти количество целых значений, которые принимает функция 
Запишем функцию в виде
Обозначим 
тогда
на отрезке 
Отсюда, получаем, что
Таким образом, множеством значений искомой функции, является промежуток 
Этот промежуток содержит 25 целых значений.
Ответ: 25.
Обоснованно получен верный ответ — 8 баллов. Решение сведено к нахождению множества значений функции 
на отрезке 
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки — 5 баллов. Решение сведено к нахождению множества значений функции на отрезке 
но решение не завершено — 2−3 балла.
Решить в целых числах уравнение 
Так как 
и 
при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 то 
может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 20 172 018 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: целочисленных решений нет.
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Рассуждения в целом верные, но правильный ответ недостаточно обоснован — 3 балла. Получен верный ответ без обоснования или с неверным обоснованием — 0 баллов.
В угол вписано несколько окружностей, радиусы которых возрастают. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Найти сумму длин второй и третьей окружностей, если радиус первой равен 1, а площадь круга, ограниченного четвертой окружностью, равна 
Для радиусов
и 
предыдущей и следующей окружности выполнено соотношение (см. рис.)
т. е. радиусы 
образуют геометрическую прогрессию, причем 
отсюда получаем, что
Ответ: 
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Доказано, что радиусы образуют геометрическую прогрессию, но получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки — 8 баллов; или решение в этом случае не завершено — 4 балла. Получен верный ответ с указанием, но без доказательства, что радиусы образуют геометрическую прогрессию — 2 балла. Верный ответ без обоснования или с неверным обоснованием — 0 баллов.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства 
содержит только одно целое число.
Очевидно, что 
не подходит. Тогда при 
найдя корни соответствующего квадратного трехчлена, получим
Если 
то решением этого неравенства будет неограниченное множество чисел (объединение двух лучей). Поэтому остается рассмотреть случай, когда 
Тогда решением неравенства
будет интервал 
при 
или интервал 
при 
(значение 
также не отвечает на вопрос задачи).
Интервал будет содержать только одно целое число тогда и только тогда, когда будет выполняться условие
Аналогично, рассматривая интервал 
получим условие
Ответ: 
Обоснованно получен верный ответ — 15 баллов. С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки 
—
В решении верно найдены все граничные точки множества a: −1, 
но неверно определены промежутки 
Найти уравнение общей касательной к графикам функций 
и 
Если прямая 
является касательной к параболе 
то они имеют единственную общую точку, следовательно, уравнение 
имеет ровно один корень. А это будет выполняться тогда и только тогда, когда дискриминант уравнения обращается в нуль. Поэтому, исходя из условия задачи, имеем систему уравнений:
или
Вычисляя дискриминанты этих уравнений, будем иметь:
Решая эту систему для определения значений k и m, находим, что k = 1 и 
Ответ: 
За 2016−2017 учебный год число студентов (обучающихся) в некотором университете увеличилось на 0,4%, а за 2017−2018 учебный год — на 0,8%, оставшись при этом меньше 50 000. На сколько студентов изменился контингент обучающихся этого университета за 2017−2018 учебный год?
Пусть x — число студентов в начале 2016−2017 учебного года. Тогда в конце 2016−2017 учебного года число студентов стало равным
а в конце 2017-2018 учебного года
Так как последнее число является целым, а каждое из чисел 125 и 250 взаимно просто с каждым из чисел 126 и 251, то x делится без остатка на 
Поскольку x при этом не превосходит 50 000, то 
Тогда за 2017−2018 учебный год контингент обучающихся увеличился на
Ответ: увеличится на 251 студента.
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Решение в целом верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. В решении присутствует математическая модель, но решение не
Пусть f(t) — некоторая функция, такая что 
при 
Найдите 
если 
По условию при 
Пусть 
тогда 
Пусть 
и 
тогда
Итак, 
Ответ: −1.
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов.
Решение в целом верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов.
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки — 3 балла.
Решить уравнение 
Применяя к левой части уравнения формулу синуса двойного угла, а к правой части формулу преобразования суммы синусов в произведение, получим:
или
Отсюда или
или
Во втором случае, применяя формулу преобразования разности косинусов в произведение, будем иметь
Ответ:
Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность радиуса 3, пересекающая сторону AC в точке D. Найти радиус окружности, описанной около треугольника BDC, если AB = 5, BC = 7.
По теореме синусов для треугольника ABD (см. рис.) получаем
откуда
Применяя теперь теорему синусов к треугольнику BDC, находим искомый радиус:
Ответ:4,2.
Докажите, что
для всех 
Преобразуем исходное выражение
Перемножив соответственно левую и правую части выражений, получаем
Обоснованно получено верное доказательство — 10 баллов. Доказательство в целом верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Доказаны некоторые вспомогательные утверждения, обеспечивавшие продвижение в решении в верном
Решите уравнение:
I способ Метод мажорант. Преобразуем исходное выражение:
Так как каждая дробь в левой части уравнения не превосходит единицы, а таких дробей всего 1009, то уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда каждая дробь обращается в единицу. Следовательно,
II способ. Замена переменной. Пусть 
тогда
Так как выражение в квадратных скобках положительно, то
Ответ: −1.
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Решение в целом верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Получены некоторые вспомогательные утверждения, обеспечивающие продвижение в решении в верном направлении — 3−4 балла. Ответ получен подбором, но при этом выполнена проверка — 1 балл.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств
имеет единственное решение.
Разложим левые части неравенств на множители:
Если a − 1 ⩽ − 3, то решение первого неравенства составляют множества 
а решение второго — множество 
так что у системы будет единственное решение x = a − 1. В случае же a − 1 > − 3 множества решений обоих неравенств содержат отрезок вида 
где в качестве b можно взять, например, наименьшее из чисел −1 и a − 1.
Ответ: 
На диаметре AB полуокружности взяты точки K и L, а на полуокружности — точки M, N и C так, что четырехугольник KLMN является квадратом, площадь которого равна площади треугольника ABС. Доказать, что центр вписанной в треугольник ABС окружности совпадает с точкой пересечения одной из сторон квадрата и одной из прямых, соединяющих вершину N или M с вершиной A или B.
Пусть a — сторона квадрата, R — радиус полуокружности с центром O, r — радиус вписанной в треугольник ABC окружности,
и 
Тогда
откуда 
Из равенства площадей квадрата и треугольника ABC получаем, что высота последнего равна 
Докажем, что ON биссектриса угла AOC. Действительно, так как 
(откуда следует, что 
то имеем
где 
Следовательно, 
и 
Поскольку вписанные углы ABN и CBN опираются на равные дуги, то BN — биссектриса угла ABC (равного α) и на ней лежит центр вписанной в прямоугольный треугольник ABC окружности, радиус которой равен
Но тогда точка P пересечения прямых BNLM является центром этой окружности, так как из подобных треугольников NKB и PLB имеем
что и требовалось доказать.
Обоснованно получено верное доказательство — 10 баллов. Доказательство в целом верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Доказаны некоторые вспомогательные непринципиального характера — 7−8 баллов. Доказаны некоторые вспомогательные утверждения, обеспечивающие продвижение в решении в верном
Найдите сумму:
Поскольку
то, учитывая условие задачи, получаем
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Вычислите сумму 
если
для 
В ответе укажите число 
Преобразуем исходное выражение:
Тогда
Отсюда 
Ответ: 
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Решение в целом верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки — 3 балла.
Докажите, что для 
выполняется неравенство
Так как то 
Используя известное неравенство о средних, получим
при условии, что 
то есть
Возведем в квадрат последнее неравенство и получим требуемое неравенство
Таким образом, неравенство доказано.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найти все корни уравнения 
удовлетворяющие условию 
Введем тригонометрическую подстановку 
Тогда
Исходное уравнение превращается в тригонометрическое
Умножим это уравнение на 
получим 
Отсюда 
и, значит,
Решая это уравнение с учетом того, что 
получаем следующие корни исходного уравнения: 
Ответ: 
Обоснованно получен верный ответ —10 баллов. Решение верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Получены некоторые вспомогательные утверждения, обеспечивающие продвижение в решении в верном направлении — 3−4 балла. Ответ получен подбором, но при этом выполнена проверка — 1 балл.
Решите систему уравнений:
Введем замену переменной 
Тогда система примет вид
Преобразуем систему к виду:
Сделаем замену переменных 
Тогда система примет вид:
Перемножим уравнения системы и получим 
откуда получаем, что 
Используя последнее равенство, получим, что система в итоге имеет два решения:
Тогда
Следовательно,
В итоге получаем два решения системы
Ответ:
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За каждое правильное решение, найденное подбором — 1 6алл.
Докажите, что 
для всех a, b, c > 0.
Преобразуем исходное выражение:
Обоснованно получено верное доказательство —10 баллов. Доказательство в целом верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Доказаны некоторые вспомогательные утверждения, обеспечивающие продвижение в решении в верном направлении — 3−4 балла.
Наверх