Всего: 223 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
Найдите наибольшее значение параметра a, при котором неравенство
имеет хотя бы одно решение.
Если 
то решение данного неравенства существует. Так как нас интересует наибольшее значение a, при котором неравенство имеет решение, то далее следует искать, если такие положительные a. Преобразуем левую часть данного неравенства следующим образом, учитывая, 
При любом 
и 
это выражение не меньше, чем 
так как 
при 
Правая часть не превосходит 
Таким образом, неравенство может иметь решение при 
то есть если 
Нас интересует наибольшее значение параметра a, поэтому пусть 
Тогда левая часть данного неравенства достигает минимального значения 
при x, удовлетворяющем условию 
то есть при 
и 
Правая часть данного неравенства при этих же значениях x 
и 
достигает значения 
Таким образом, 
есть искомое значение параметра.
Ответ: 
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Решение верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Получены некоторые вспомогательные утверждения, обеспечивающие продвижение в решении в верном направлении — 3−4 балла. Ответ получен подбором, но при этом есть хоть какие-то здравые рассуждения — 1 балл.
В магазине «Все для школы» в продаже имеется мел в пачках трех сортов: обычный, необычный и превосходный. Сначала количественное соотношение по сортам было 3 : 4 : 6. В результате продаж и поставок со склада это соотношение изменилось и стало 2 : 5 : 8. Известно, что число пачек превосходного мела возросло на 80%, а обычного мела — уменьшилось не более чем на 10 пачек. Сколько всего пачек мела было в магазине сначала?
Пусть x — исходное число пачек обычного мела, тогда число пачек необычного равно 
Так как последнее число — целое, то 
где 
Следовательно, исходные количества пачек всех трех сортов составляют 3n, 4n, 6n соответственно. После продаж и поставок количество превосходного мела составило 
а необычного
Эти числа — целые, следовательно, делятся на 4 и 5, то есть 
где 
Число пачек обычного мела будет равно
Учитывая условие задачи (число пачек обычного мела уменьшилось не более чем на 10 пачек), получим
Последнему неравенству удовлетворяет лишь одно натуральное число 
Откуда следует, что 
Таким образом, исходное количество пачек мела в магазине было равным
Ответ: 260 пачек.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Расстояние между центрами 
и 
окружностей 
и 
равно 5r, а их радиусы равны соответственно r и 7r. Хорда окружности касается окружности 
и делится точкой касания в отношении 1:6. Найдите длину этой хорды.
Пусть 
—
точка M — точка касания этой окружности с хордой AB. Из центра 
второй окружности 
проведем 
где точка K — середина хорды AB. Опустим 
и рассмотрим три различных случая расположения хорды 
и центров и 
1) Пусть 
лежат в одной полуплоскости относительно прямой и 
(рис. 4). Так как 
то L лежит на отрезке 
Пусть 
тогда
В прямоугольном 
имеем
В прямоугольном 
имеем 
откуда получаем, что
Учитывая, что 
получаем уравнение 
Решая его, находим 
Следовательно, 
2) Пусть 
по-прежнему лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB (рис. 5), но 
(в частности, может быть 
то есть AB — диаметр). Следовательно, L лежит на продолжении отрезка 
при этом 
Выражения для 
KL через x и r сохраняются, а уравнения для нахождения x примет вид 
Решая его, находим
Следовательно, 
3) Пусть лежат по разные стороны относительно прямой AB (рис. 6). Следовательно, 
лежит на продолжение отрезка при этом
Выражения для 
KL через x и r сохраняются, а уравнения для нахождения x примет вид 
и решений не имеет.
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Дана плоскость 
точки P и Q, причем точка P принадлежит плоскости а точка Q находится вне плоскости 
Найдите все точки R, принадлежащие плоскости для которых отношение 
принимает максимальное значение.
Пусть
тогда
и указанное отношение запишем в виде
Это отношение будет тем больше, чем меньше угол 
Угол 
принимает наименьшее значение, если плоскость PQR перпендикулярна плоскости γ; в этом случае угол равен углу между прямой PQ и плоскостью 
Итак, точка R принадлежит проекции прямой PQ на плоскость γ. Остается найти расстояние для которого функция
где α — угол между прямой PQ и плоскостью γ, достигает максимума. Находим
Производная обрушается в нуль в точке 
В этой точке она меняет знак c 
на 
поэтому функция 
в точке 
достигает максимума. Тем самым получаем искомую точку. В случае, когда отрезок 
перпендикулярен плоскости в качестве точки R можно взять любую точку на окружности с центром в точке P и радиусом a.
Ответ: точка R — любая точка на окружности с центром в точке P и радиусом a.
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Решение верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Производная функции найдена верно, но знаковая кривая отсутствует — 5−6 баллов. Пространственная задача верно сведена к планиметрической задаче, но расстояние найдено подбором — 3−4 балла.
Найдите сумму: 
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 623.
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Докажите, что для 
выполняется неравенство
Так как то 
Используя известное неравенство о средних, получим
при условии, что 
то есть
Возведем в квадрат последнее неравенство и получим требуемое неравенство
Таким образом, неравенство доказано.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Решите систему уравнений:
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 627.
Ответ:
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За каждое правильное решение, найденное подбором — 1 балл.
Вычислите сумму:
Используя известную формулу
верную дли 
получим, что каждый из корней представим в виде:
Сложив все эти равенства, имеем
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
В магазине «Все для школы» в продаже имеется мел в пачках трех сортов: обычный, необычный и превосходный. Сначала количественное соотношение по сортам было 2:3:6. После того как в магазин поступило некоторое количество пачек обычного и необычного мела общим числом не более 100 пачек, а 40% от пачек превосходного мела было продано, количественное соотношение изменилось и стало 5:7:4. Сколько всего пачек мела было продано в магазине?
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 630.
Ответ: 24 пачки.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Расстояние между центрами и 
окружностей и равно 10r, а их радиусы равны соответственно 5r и 6r. Прямая, пересекающая окружность 
в точках М и N касается окружности в точке K, причем 
Найдите длину хорды MN.
Решение подобной задачи присутствует в варианте 1 под тем же номером, отличие состоит в том, что возможны 2 случая расположения хорды и окружностей:
1) точка касания с окружностью лежит вне окружности 
2) точка касания с окружностью лежит внутри окружности 
Ответ: 
или 6r.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
или 6r.Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству значений функции:
С помощью формулы 
преобразуем данную Функцию к виду
Значения косинуса целиком заполняют промежуток 
при условии, что 
Наименьшее и наибольшее значение находим обоснованно любым способом (графически, через производную, выделением полного квадрата), в результате чего, имеем
Таким образом, множество значений функции содержит семь целых чисел: −2021, −2020, −2019, −2018, −2017, −2016, −2015.
Ответ: 7.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Решить систему уравнений:
Из третьего уравнения системы находим 
откуда 
Следовательно, 
либо 
1) Пусть 
тогда и первое, и второе уравнения сводятся к равенству 
Следовательно, 
либо 
Таким образом, решениями являются всевозможные тройки чисел вида
2) Пусть 
Вычитая из второго уравнения исходной системы удвоенное первое, подучим 
Так как то 
Учитывая условие 
После чего из первого или второго уравнения исходной системы находим 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Вычислите:
Вычислим:
Ответ: 2020.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите все пары чисел (a, b), при которых функция
постоянна во всей области ее определения.
Отметим сначала, что при 
функция 
не определена ни для одного значения x. Если 
то получаем 
и не является постоянной, значит, 
Пусть теперь при всех x из области определения 
функции 
то есть при всех 
выполняется равенство 
Тогда, учитывая представление получим
или
при всех 
А это возможно тогда и только тогда, когда выполнятся следующая система уравнений:
Откуда получаем 
и затем 
Если 
то и чего быть не может, как отмечалось выше, следовательно,
где 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Пусть А — множество всех шестнадцатизначных натуральных чисел, для каждого из которых выполняется два условия: оно является квадратом целого числа и в его десятичной записи в разряде десятков стоит цифра 1. Докажите, что все числа из множества А четные и множество А содержит более чем 
чисел.
Пусть m — произвольное чисто из множества А. По условию 
где 
Предположим, что a — последняя цифра чиста n, тогда 
где 
Следовательно,
Сумма 
оканчивается цифрой 0 и имеет четное чисто десятков. Для того чтобы в числе m цифрой десятков 
Проверял все значения 
убеждаемся, что это возможно только при 
и 
Следовательно, чисто n четное, а значит четным будет также и чисто 
Таким образом, все числа из множества А четные. Оценим теперь в каждой сотне последовательно стоящих натуральных чисел количество таких чисел n, для которых 
имеет цифру 1 в разряде десятков. Каждое чисто n можно записать в виде 
где 
Возводя в квадрат, имеем
Сумма 
оканчивается двумя нулями, поэтому цифра в разряде десятков числа m совпадает с соответствующей цифрой слагаемого 
Последней цифрой числа b является 4 или 6 (вытекает из предыдущих рассуждений). Тогда условию задачи могут удовлетворять 
Рассматривая их квадраты, убеждаемся, что цифра 1 в разряде десятков получается только три 
Следовательно, множество А содержит числа вида 
где
В каждой последовательной сотне натуральных чисел есть четыре числа, квадраты которых имеют цифру 1 в разряде десятков, это числа вида
По условию задачи 
или 
Отметим, что 
и в промежутке между числами 
и 
существует
последовательных сотен натуральных чисел. В каждой из них можно выбрать четыре числа, квадраты которых принадлежат А. Поэтому количество элементов в множестве А не меньше, чем
а это число очевидно 6олыше 
что и требовалось доказать.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Решите в целых числах уравнение: 
Разложим левую часть уравнения, например, с помощью группировки, на множители:
Откуда получим следующий вид исходного уравнения: 
Учитывая, что x и y — целые числа, а число 7 — простое число, решение уравнения сводится к решению четырех систем:
Решая эти системы уравнений, получаем четыре пары решений: 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За каждое правильное решение, найденное подбором — 1 балл.
Из городка «Ух» в городок «Ах» в 
утра выехал Иван на своем велосипеде, проехав две трети пути, он миновал городок «Ох», из которого в этот момент времени в городок «Ух» отправился Петр пешком. В тот момент времени, когда Иван прибыл в городок «Ах», оттуда в обратном направлении выехал Николай на своем велосипеде и прибыл в городок «Ух» в 
утра этого же дня. В скольких километрах от городка «Ах» Николай догнал Петра, если Петр прибыл в городок «Ух» в 
утра того же дня, при этом скорость каждого участника движения была постоянной, а расстояние между городками «Ух» и «Ах» составляет всего 10 км.
Решим задачу графически-геометрическим способом. Изобразим графики движения Ивана через отрезок KL, Николая через отрезок LM и Петра через отрезок NP в системе координат 
где t — время в часах, s — расстояние в километрах от пункта А (рис. 1). Пусть Q — точка пересечения LM и NP. По условию 
и 
Проведём 
тогда по теореме Фалеса имеем
Тогда, если 
то 
а 
Откуда опять по теореме Фалеса имеем
Таким образом, искомое расстояние равно 
Отметим, что при поиске отношения 
можно использовать теорему Менелая. Точки N, Q и P лежат на одной прямой, поэтому
или
Следовательно, 
Ответ: 6 км.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Дан куб и две плоскости 
и 
Плоскость перпендикулярна прямой 
а плоскость 
параллельна прямой 
Определите наименьший возможный угол между плоскостями и
Докажем сначала одно вспомогательное утверждение. Пусть плоскости и β пересекаются по прямой l и образуют двугранный угол 
точка 
и 
(рис. 7). Следовательно, 
Пусть S — произвольно выбранная на l точка, то из неравенства 
имеем
Следовательно, 
Вернемся к исходной задаче. Проведем плоскости и β через точку 
Пусть ребро куба равно 1 и O — точка пересечения диагоналей ABCD. Прямая 
перпендикулярна диагонали 
и ребру 
поэтому плоскость 
перпендикулярна 
то есть совпадает с 
Плоскость β проходит через прямую 
следовательно, 
лежит на ребре двугранного угла, образованного α то CO перпендикулярна α (рис. 8). Отметим,
то есть 
Как было показано выше, что если — и β, то 
Следовательно, 
Покажем, что угол может быть равным 
В плоскости через точку проведем прямую m перпендикулярную 
а затем построим плоскость β через m и прямую 
Тогда m будет ребром получившегося двугранного угла, а 
— и β равен 
то есть наименыший возможный угол между плоскостями и β равен 
Ответ:
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Одна сторона некоторого треугольника в два раза больше другой, а периметр этого треугольника равен 60, наибольшая его сторона в сумме с учетверенной наименьшей равна 71. Найдите стороны этого треугольника.
Обозначим через a, b, с стороны треугольника, без ограничения общности, будем считать, что 
Учитывая условие задачи, запишем систему уравнений:
Так как одна из сторон треугольника в 2 раза больше другой, то рассмотрим три возможных случая.
1) Если 
то 
Следовательно, не выполняется неравенство треугольника 
необходимое для существования треугольника.
2) Если 
то из второго условия системы находим 
тогда 
Затем находим значение b из первого уравнения 
откуда следует 
что противоречит, что 
3) Если 
то система запишется в виде:
Откуда 
Полученное решение удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: 11, 22, 27.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За правильное решение, найденное подбором — 1 балл.
Вычислите:
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 643.
Ответ: 2019.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Наверх