РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 649 Добавить в вариант

Одна сторона некоторого треугольника в два раза больше другой, а периметр этого треугольника равен 60, наибольшая его сторона в сумме с учетверенной наименьшей равна 71. Найдите стороны этого треугольника.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим через a, b, с стороны треугольника, без ограничения общности, будем считать, что $a меньше или равно b меньше или равно c.$ Учитывая условие задачи, запишем систему уравнений:

$система выражений a плюс b плюс c=60,4 a плюс c=71. конец системы .$

Так как одна из сторон треугольника в 2 раза больше другой, то рассмотрим три возможных случая.

1)  Если $c=2b,$ то $a плюс b меньше или равно 2 b=c.$ Следовательно, не выполняется неравенство треугольника $a плюс b больше c,$ необходимое для существования треугольника.

2)  Если $c=2a,$ то из второго условия системы находим $6 a=71,$ $a= дробь: числитель: 71, знаменатель: 6 конец дроби ,$ тогда $c = дробь: числитель: 71, знаменатель: 3 конец дроби .$ Затем находим значение b из первого уравнения $b= дробь: числитель: 147, знаменатель: 6 конец дроби ,$ откуда следует $b больше c,$ что противоречит, что $a меньше или равно b меньше или равно c.$

3)  Если $b=2 a,$ то система запишется в виде:

$система выражений 3 a плюс c=60,4 a плюс c=71. конец системы .$

Откуда $a=11,$ $c=27,$ $b=22.$ Полученное решение удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 11, 22, 27.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Замечание. За правильное решение, найденное подбором — 1 балл.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 8 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Неравенства, оценки, минимаксные задачи

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь